Problema trigonometria

[irelimax]

Salve a tutti,

devo risolvere questo esercizio:

Nel rettangolo ABCD è inscritto il triangolo ABP, con il vertice P sul lato CD. Le misure dei lati del rettangolo sono:

$AB=a$
$AD=(2-\sqrt{3})a$

Determina l'angolo $D\hat{A} P$, sapendo che è valida la relazione $AP^2+AD^2=BP^2$

Le equazioni che ho impostato sono le seguenti:

$DP=AP\sin(D\hat{A} P)$
$AD=AP\cos(D\hat{A} P)$

ma così facendo arrivo ad ottenere l'equazione:

$\frac{\cos(D\hat{A} P)}{1+\sin(D\hat{A} P)}=2-\sqrt{3}$

Il problema è che da quest'ultima non riesco a ricavarmi l'angolo incognito. QUalcuno ha qualche idea di come fare?

[giammaria2]

Dando denominatore comune ottieni un'equazione lineare in seno e coseno: i metodi per risolverla sono molti ma quelli tradizionali mi sembrano lunghetti. Puoi fare la sostituzione $DhatP=90°-2x$ e l'equazione diventa
$(sin2x)/(1+cos2x)=2-sqrt3->(2sinxcosx)/(2cos^2x)=2-sqrt3->tanx=2-sqrt3->x=15°$

e quindi $DhatAP=90°-2*15°=60°$


Il metodo che mi sembra il più breve è porre $DP=y$ e calcolare con Pitagora $AP^2$ e $BP^2$. Dalla $AP^2+AD^2=BP^2$ ottieni facilmente $DP=y=a(2sqrt3-3)=asqrt3(2-sqrt3)$; dal triangolo $DAP$ hai
$tanDhatAP=(DP)/(AD)=sqrt3" "->" "DhatAP=60°$

[irelimax]

Grazie mille! Utilissima!