Problema Trigonometria
Buon pomeriggio a tutti.
Non riesco a risolvere questo problema. Potrei essere aiutato? Grazie.
Nella semicirconferenza di centro O e diametro $ AB = 2 $ è inscritto il trapezio isoscele ABCD. Costruisci il triangolo equilatero CDE il cui vertice E appartiene al semipiano non contenente O. Posto $ Bhat(O)C = x $ :
esprimi l’area $ s(x) $ del quadrilatero OCED e rappresenta la funzione $ s(x) $ verificando che vale $ s(x)= sqrt(3)/2 + sen(2x + pi /3) $
Non riesco a risolvere questo problema. Potrei essere aiutato? Grazie.
Nella semicirconferenza di centro O e diametro $ AB = 2 $ è inscritto il trapezio isoscele ABCD. Costruisci il triangolo equilatero CDE il cui vertice E appartiene al semipiano non contenente O. Posto $ Bhat(O)C = x $ :
esprimi l’area $ s(x) $ del quadrilatero OCED e rappresenta la funzione $ s(x) $ verificando che vale $ s(x)= sqrt(3)/2 + sen(2x + pi /3) $
Risposte
Detta $H$ l'intersezioni di $CD,EO$, considera il triangolo rettangolo $OCH$, in cui sai che $CO=1$ e $OhatCH=x$. Non dovresti avere difficoltà a calcolare tutti i segmenti che ti servono ed a calcolare che
$s(x)=1/2CD*(OH+HE)=sinxcosx+sqrt3cos^2x$
Portando ora il tutto all'angolo $2x$ ottieni la formula voluta.
$s(x)=1/2CD*(OH+HE)=sinxcosx+sqrt3cos^2x$
Portando ora il tutto all'angolo $2x$ ottieni la formula voluta.
Tutto chiarissimo.
Quindi $ CHO = DHO $ ma $ CHO = DHO != CEH $ ; ovvero $ ECOD $ non è un rombo, giusto?
Comunque tutto apposto con lo svolgimento del problema. Grazie mille!
Quindi $ CHO = DHO $ ma $ CHO = DHO != CEH $ ; ovvero $ ECOD $ non è un rombo, giusto?
Comunque tutto apposto con lo svolgimento del problema. Grazie mille!
Buonasera, ho notato che questo problema è già stato affrontato.
Ho tentato di affrontare questo esercizio e arrivo a questo punto:
$Area (OCD) = 1/2 (2sin(x) cos(x)) $ avendo posto $ OH = cos(x) $ , $ CH = sin(x) $ e $CD = 2 sin(x)$ (H è l'intersezione di $CD $ e $EO$".
$Area (CDE) $ =$ 1/2 $ ($sqrt(3) $ $ sin^2(x))$
Poiché CDE è un triangolo equilatero, ho calcolato l'altezza HE applicando il Teorema di Pitagora.
Poi sommo le due aree trovate per determinare l'area complessiva del quadrilatero. A questo punto mi blocco: sbaglio qualcosa nei calcoli precedenti oppure è tutto corretto e devo porre qualche accortezza per arrivare alla soluzione proposta dal testo?
Grazie.
Ho tentato di affrontare questo esercizio e arrivo a questo punto:
$Area (OCD) = 1/2 (2sin(x) cos(x)) $ avendo posto $ OH = cos(x) $ , $ CH = sin(x) $ e $CD = 2 sin(x)$ (H è l'intersezione di $CD $ e $EO$".
$Area (CDE) $ =$ 1/2 $ ($sqrt(3) $ $ sin^2(x))$
Poiché CDE è un triangolo equilatero, ho calcolato l'altezza HE applicando il Teorema di Pitagora.
Poi sommo le due aree trovate per determinare l'area complessiva del quadrilatero. A questo punto mi blocco: sbaglio qualcosa nei calcoli precedenti oppure è tutto corretto e devo porre qualche accortezza per arrivare alla soluzione proposta dal testo?
Grazie.
Hai invertito gli angoli.
$x$ è l'angolo $hat(BOC)$, quindi $OH=sinx$ mentre $CH=cosx$
$x$ è l'angolo $hat(BOC)$, quindi $OH=sinx$ mentre $CH=cosx$
Giustissimo, grazie per la correzione!
Quindi a questo punto otterrei:
$Area (COD)$ = $(cosx * sinx)$
$Area (CED)$ = $(2cosx * sqrt{3}cosx)/2$ = $sqrt{3}cos^2x$
Quindi a questo punto otterrei:
$Area (COD)$ = $(cosx * sinx)$
$Area (CED)$ = $(2cosx * sqrt{3}cosx)/2$ = $sqrt{3}cos^2x$
Adesso per arrivare alla formula richiesta devi portare tutto in funzione di $2x$
E su questo passaggio ho qualche problema.
$Area (COD)$ = $(sin2x)/2$
mentre per l'area di CED come mi devo muovere?
$Area (COD)$ = $(sin2x)/2$
mentre per l'area di CED come mi devo muovere?
Usando la formula di duplicazione del seno si ricava $cosx sinx= 1/2 sin 2x$ e usando una delle formule di duplicazione del coseno o se preferisci una di bisezione (sono in pratica la stessa formula che lega un angolo al suo doppio) $cos^2 x=(cos 2x+1)/2$
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