Problema trigonimetria.
Le altezze di un parallelogramma sono 9 e 12 e il perimetro è 70. Determina gli angoli del parallelogramma.
Ho disegnato la figura e le relative altezze. Ottengo dei triangoli rettangoli. Di questi conosco il cateto che coincide con l'altezza ma non conosco nè gli angoli nè altro lato.
Non so procedere. Mi date una mano?
Grazie.
Ho disegnato la figura e le relative altezze. Ottengo dei triangoli rettangoli. Di questi conosco il cateto che coincide con l'altezza ma non conosco nè gli angoli nè altro lato.
Non so procedere. Mi date una mano?
Grazie.
Risposte
Chiama $ABCD$ i vertici del parallelogramma presi circolarmente, con $AB = CD$ il lato maggiore. Proietta $D$ sul lato $AB$ in un punto $H$ e proietta $C$ sul prolungamento di $AD$, oltre $D$, in un punto $K$.
Gli angoli $A\hat DH$ e $D\hat CK$ sono uguali, perché hanno i lati perpendicolari ($DH$ perpendicolare a $DC$ e $CK$ perpendicolare a $AD$). Li poniamo uguali a $x$. Allora si può dire che $AD * cosx = DH = h_1$ e $DC * cosx = CK = h_2$.
Allora il perimetro $2p = 2 * (AD + DC) = 2 * ((h_1/cosx) + (h_2/cosx)) = (2/cosx) * (h_1 + h_2)$. Quindi $cosx = 2 * ((h_1 + h_2)/2p) = 2 * (9 + 12)/70 = 3/5$. L'angolo in $A$ è complementare di $x$, quindi $sen\alpha = 3/5$, l'angolo in $D$ è il supplementare di $A$ e quindi $sen\delta = 3/5$. Oppure $\alpha = arcsen(3/5)$ e $\delta = \pi - \alpha$.
Gli angoli $A\hat DH$ e $D\hat CK$ sono uguali, perché hanno i lati perpendicolari ($DH$ perpendicolare a $DC$ e $CK$ perpendicolare a $AD$). Li poniamo uguali a $x$. Allora si può dire che $AD * cosx = DH = h_1$ e $DC * cosx = CK = h_2$.
Allora il perimetro $2p = 2 * (AD + DC) = 2 * ((h_1/cosx) + (h_2/cosx)) = (2/cosx) * (h_1 + h_2)$. Quindi $cosx = 2 * ((h_1 + h_2)/2p) = 2 * (9 + 12)/70 = 3/5$. L'angolo in $A$ è complementare di $x$, quindi $sen\alpha = 3/5$, l'angolo in $D$ è il supplementare di $A$ e quindi $sen\delta = 3/5$. Oppure $\alpha = arcsen(3/5)$ e $\delta = \pi - \alpha$.
Scusa chiarotta, ho capito tutto ciò che hai scritto tranne l'ultimo periodo.
ciao
ciao
Gli angoli del parallelogramma non sono notevoli e quindi la risposta al problema deve essere o del tipo $sen\alpha = un certo numero$ oppure $\alpha = arc sen(un certo numero)$. O espressioni dello stesso tipo con altre funzioni trigonometriche.
Nel caso specifico hai calcolato il $cosA\hat DH$ che è $= 3/5$. Ma l'angolo in $\hat A$, ($\alpha$) è complementare di $A\hat DH$, quindi $sen\alpha = cos(\pi/2 - \alpha) = cosA\hat DH = 3/5$.
Allora il risultato per quell'angolo o lo dai nella forma $sen\alpha = 3/5$ oppure nella sua equivalente $\alpha = arcsen(3/5)$. L'angolo in $\hat D$, ($\delta$), è supplementare di $\alpha$ e quindi $\delta = \pi - \alpha$.
Nel caso specifico hai calcolato il $cosA\hat DH$ che è $= 3/5$. Ma l'angolo in $\hat A$, ($\alpha$) è complementare di $A\hat DH$, quindi $sen\alpha = cos(\pi/2 - \alpha) = cosA\hat DH = 3/5$.
Allora il risultato per quell'angolo o lo dai nella forma $sen\alpha = 3/5$ oppure nella sua equivalente $\alpha = arcsen(3/5)$. L'angolo in $\hat D$, ($\delta$), è supplementare di $\alpha$ e quindi $\delta = \pi - \alpha$.
Ho capito.
Grazie mille per il tuo aiuto.
ciao
Grazie mille per il tuo aiuto.
ciao
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