Problema triangolo
Buonasera ragazzi. Mi date qualche input su come risolvere questo problema:
Ho visto che ABC e DNC sono simili, ABC è rettangolo, così come DNC. Le informazioni ci sono, il fatto è che conosciamo solo 2 lati, un pò pochini.
Sto riempiendo pagine di calcoli senza arrivare a niente. Parto sempre da questo:
\(\displaystyle AB : DN = AC : DC \rightarrow AB : DN = AD+DC : DC \rightarrow DN = \frac{3c \cdot DC}{3DC+c} \)
Si potrebbe fare Pitagora su DNC. Non riesco a calcolarmi almeno un altro lato che potrebbe aiutarmi a sbloccare, probabilmente non individuo una coppia di equazioni che, uguagliandole, mi permettono di calcolare uno dei lati
Ho visto che ABC e DNC sono simili, ABC è rettangolo, così come DNC. Le informazioni ci sono, il fatto è che conosciamo solo 2 lati, un pò pochini.
Sto riempiendo pagine di calcoli senza arrivare a niente. Parto sempre da questo:
\(\displaystyle AB : DN = AC : DC \rightarrow AB : DN = AD+DC : DC \rightarrow DN = \frac{3c \cdot DC}{3DC+c} \)
Si potrebbe fare Pitagora su DNC. Non riesco a calcolarmi almeno un altro lato che potrebbe aiutarmi a sbloccare, probabilmente non individuo una coppia di equazioni che, uguagliandole, mi permettono di calcolare uno dei lati
Risposte
Conosci due lati, ma anche l’angolo retto dei due triangoli simili, quindi non sono pochi gli elementi noti. Il problema si può risolvere in vari modi. Ma forse il più rapido è tramite il teorema di Talete:
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Talete
che parla di rette parallele tagliate da due trasversali.
Non lo hai mai sentito? Occasione buona per imparare un altro argomento. Ti ci lascio ragionare un po’ , con calma e sangue freddo...
Poi ti ricordo delle proprietà “ componendo e scomponendo “ delle proporzioni ( spero si chiamino così
, non me lo ricordo tanto bene) . Poi c’è sempre la trigonometria, ma non so se la conosci.
Dai...che ce la fai!
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Talete
che parla di rette parallele tagliate da due trasversali.
Non lo hai mai sentito? Occasione buona per imparare un altro argomento. Ti ci lascio ragionare un po’ , con calma e sangue freddo...
Poi ti ricordo delle proprietà “ componendo e scomponendo “ delle proporzioni ( spero si chiamino così
, non me lo ricordo tanto bene) . Poi c’è sempre la trigonometria, ma non so se la conosci.Dai...che ce la fai!
Purtroppo non riesco a capire da quale proporzione partire ed inizio a riempire il foglio di calcoli. Mi dici come impostare la proporzione? Ti ringrazio
"Dragonlord":
Parto sempre da questo:
\(\displaystyle AB : DN = AC : DC \rightarrow AB : DN = AD+DC : DC \rightarrow DN = \frac{3c \cdot DC}{3DC+c} \)
Ragazzi, vi invito a tirarmi le orecchie se sbaglio, però ricordo che sul teorema di Talete, le proporzioni valevano per i segmenti individuati dalle trasversali e non per il fascio di rette parallele. Mi spiego meglio, avrei scritto
$\bar(AD):\bar(BN) = \bar(DC):\bar(NC) = \bar(AC):\bar(BC)$
(non che magari conduca lontano questa cosa, eh!)
Non cambia, hai triangoli simili quindi ...
"axpgn":
Non cambia, hai triangoli simili quindi ...
Giusto, i triangoli simili hanno lati proporzionali, l'avevo quasi scordato.
Grazie Alex!
Il problema posto così non ha soluzioni perché NON conosciamo due lati, ma solo un lato e la differenza tra un secondo lato e il suo corrispondente. In pratica abbiamo due dati su due triangoli diversi che non fanno capo a lati corrispondenti, ma a lati non corrispondenti.
Tutti i ragionamenti che fate avrebbero senso se i dati fosse AC e AD, oppure AB e DN, che, essendo corrispondenti, permettono di trovare il rapporto comune a tutte le coppie di lati corrispondenti della figura.
Per tagliare la testa al toro basta considerare i triangolo rettangoli
6, 8, 10, con AB=6 e
15, 36, 39, con AB=15
Nel primo caso il rapporto tra CN e BC viene $3/4$, mentre nel secondo caso viene $31/36$, questo ci permette di affermare che il problema non può avere soluzione univoca. È solo possibile trovare una soluzione che dipenda dai lati AB e DC.
Tutti i ragionamenti che fate avrebbero senso se i dati fosse AC e AD, oppure AB e DN, che, essendo corrispondenti, permettono di trovare il rapporto comune a tutte le coppie di lati corrispondenti della figura.
Per tagliare la testa al toro basta considerare i triangolo rettangoli
6, 8, 10, con AB=6 e
15, 36, 39, con AB=15
Nel primo caso il rapporto tra CN e BC viene $3/4$, mentre nel secondo caso viene $31/36$, questo ci permette di affermare che il problema non può avere soluzione univoca. È solo possibile trovare una soluzione che dipenda dai lati AB e DC.
@melia
in altri termini stai dicendo che il problema è indeterminato, giusto? Ma se avessimo un triangolo rettangolo assegnato ABC, quindi con valori assegnati per i cateti AB e AC, e l’ipotenusa BC , non si potrebbe risolvere il problema? Non ho avuto molto tempo per pensarci oggi, perché non sono a tavolino con carta e penna, ma credo che alla fine qualcosa si potrebbe tirare fuori.
in altri termini stai dicendo che il problema è indeterminato, giusto? Ma se avessimo un triangolo rettangolo assegnato ABC, quindi con valori assegnati per i cateti AB e AC, e l’ipotenusa BC , non si potrebbe risolvere il problema? Non ho avuto molto tempo per pensarci oggi, perché non sono a tavolino con carta e penna, ma credo che alla fine qualcosa si potrebbe tirare fuori.
Ma non lo abbiamo.
Ecco, questa è l’ipotesi fondamentale mancante, data per scontata, credo, da chi ha proposto il problema: il triangolo ABC è assegnato. Per es, i lati misurano: AB=3 ; AC=4 ; BC= 5 (terna pitagorica). Allora AD= 1. E si può andare avanti e trovare BN e NC.
Certo non è una soluzione generale ma particolare .
Certo non è una soluzione generale ma particolare .
Certo. Ma se i lati del triangolo appartengono ad un’altra terna pitagorica il risultato del rapporto cambia.
Si, le tue osservazioni sono molto chiare e le condivido. Bisognerebbe capire se anche L’ OP ha maturato il ragionamento.
Se un'ipotesi manca, manca; non è che la si può aggiungere ad mentula canis.
Evidentemente, l'estensore dell'esercizio (sempre per l'ingresso in forze armate?) avrà sbagliato la traccia. Capita...
Evidentemente, l'estensore dell'esercizio (sempre per l'ingresso in forze armate?) avrà sbagliato la traccia. Capita...
Ragazzi, si è molto probabile che ci sia un errore, anche perchè quello è un esercizio riportato da chi è stato al concorso. Grazie mille melia e grazie mille a tutti ^^
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