Problema tramite equazione di 2° grado
ciao a tutti!
ho un problema a risolvere questo problema
determina sulla diagonale AC di un quadrato di lato a un punto P tale che, detti M e N le proiezioni di P sui lati AB, e Bc rispettivamente, l'aerea del rettangolo di lati PM e PN sia 3/16 dell'area del quadrato.
vorrei che qualcuno mi aiutasse... le soluzioni sono [PM=1/4a; PN=3/4a]
grazie in anticipo
ho un problema a risolvere questo problema
determina sulla diagonale AC di un quadrato di lato a un punto P tale che, detti M e N le proiezioni di P sui lati AB, e Bc rispettivamente, l'aerea del rettangolo di lati PM e PN sia 3/16 dell'area del quadrato.
vorrei che qualcuno mi aiutasse... le soluzioni sono [PM=1/4a; PN=3/4a]
grazie in anticipo
Risposte
Sappiamo che:
Adesso hai tutte le relazioni che ti servono. Se hai dubbi chiedi. ;)
[math]AM=PM[/math]
[math]PM=NB[/math]
[math]AP=PM*\sqrt{2}[/math]
[math]PC=a-AM[/math]
[math]CN=\frac{PC}{\sqrt{2}}[/math]
Adesso hai tutte le relazioni che ti servono. Se hai dubbi chiedi. ;)
the.track:
[math]AP=PM*\sqrt{2}[/math]
[math]CN=\frac{PC}{\sqrt{2}}[/math]
Adesso hai tutte le relazioni che ti servono. Se hai dubbi chiedi. ;)
queste due ultime relazioni come le trovi?
scusa ti sembrerò cretina ma quest'anno non ci capisco più niente di matematica...
Siccome siamo sulla diagonale di un quadrato le proiezioni formano "piccole metà" di quadrato. In pratica AMP è metà quadrato. Perciò
Le relazioni che ti ho posto sono tutte frutto di questa considerazione delle metà quadrato.
Se hai ancora dubbi dimmelo che allora ti spiegherò passo passo ciò che devi fare.
P.S.: ti allego il disegno.
[math]AP=PM*\sqrt{2}[/math]
.Le relazioni che ti ho posto sono tutte frutto di questa considerazione delle metà quadrato.
Se hai ancora dubbi dimmelo che allora ti spiegherò passo passo ciò che devi fare.
P.S.: ti allego il disegno.
non ho capito...
noi non abbiamo mai fatto cose di questo tipo, non riesco a capire come faccia il triangolo AMP metà el quadrato....
pensavo di fare così inizialmente:
CN=NP=MB
PM=NB=AP
MB= x
BN= t
x + t = a
x * 7 = 3/16 a alla seconda
ma poi non so come andare avanti, quindi ho abbandonato l'idea...
dovrebbe venirmi un equazione di 2° grado
noi non abbiamo mai fatto cose di questo tipo, non riesco a capire come faccia il triangolo AMP metà el quadrato....
pensavo di fare così inizialmente:
CN=NP=MB
PM=NB=AP
MB= x
BN= t
x + t = a
x * 7 = 3/16 a alla seconda
ma poi non so come andare avanti, quindi ho abbandonato l'idea...
dovrebbe venirmi un equazione di 2° grado
Ok dammi un attimo che ti posto il procedimento per bene che così capisci.
———————————————
Per prima cosa ti devo correggere. Nella maniera più assoluta non puoi dire che
Ora parto con la spiegazione.
Con Pitagora possiamo calcolare
Sappiamo che
Semplificando otteniamo che:
Da qui deriva ciò che ti ho detto prima.
Adesso poniamo:
Di conseguenza avremo che:
Adesso notiamo che l'angolo AMP è retto.
L'angolo
Sapendo che AM e MP sono uguali in quanto lati di un quadrato, possiamo scrivere:
A noi serve conoscere AM, quindi:
Isoliamo AM:
Adesso sappiamo che:
Adesso hai tutte le variabili in funzione di
Se hai ancora dubbi chiedi pure. ;)
———————————————
Per prima cosa ti devo correggere. Nella maniera più assoluta non puoi dire che
[math]PM=AP[/math]
.Ora parto con la spiegazione.
Con Pitagora possiamo calcolare
[math]AC[/math]
in funzione di [math]a[/math]
.[math]AC=\sqrt{AB^2+CB^2}[/math]
Sappiamo che
[math]AB[/math]
e [math]CB[/math]
sono uguali e sono lati dello stesso quadrato ossia pari ad [math]a[/math]
. Possiamo quindi esprimere la relazione suddetta in funzione di [math]a[/math]
ossia:[math]AC=\sqrt{a^2+a^2}[/math]
[math]AC=\sqrt{2a^2}[/math]
Semplificando otteniamo che:
[math]AC=a*\sqrt{2}[/math]
Da qui deriva ciò che ti ho detto prima.
Adesso poniamo:
[math]AP=x[/math]
Di conseguenza avremo che:
[math]PC=a*\sqrt{2}-x[/math]
Adesso notiamo che l'angolo AMP è retto.
L'angolo
[math]CAB=PAM[/math]
perché sono delimitati dalle stesse semirette vale 45° perché metà di un angolo retto. Possiamo dunque dire che il triangolo AMP è un triangolo rettangolo e a causa dei suoi due angoli PAM e AMP di 45° possiamo affermare che è metà di un quadrato di lato MP. A questo punto applichiamo Pitagora sul triangolo AMP:[math]x=\sqrt{AM^2+MP^2}[/math]
Sapendo che AM e MP sono uguali in quanto lati di un quadrato, possiamo scrivere:
[math]x=\sqrt{2AM^2}[/math]
A noi serve conoscere AM, quindi:
[math]x=AM*\sqrt{2}[/math]
Isoliamo AM:
[math]\frac{x}{\sqrt{2}}=AM[/math]
Adesso sappiamo che:
[math]MB=a-AM[/math]
Adesso hai tutte le variabili in funzione di
[math]x[/math]
. Imposta la relazione data dal problema e risolvi l'equazione.Se hai ancora dubbi chiedi pure. ;)
ok grazie mille =) ^^
Ho modificato sopra.
grazie mille! fin qui l'ho capito..
ma non mi è ancora venuto xD
allora dai dati del problema so che
A(rettangolo)= 3/16 A(quadrato)
quindi
PM*PN=3/16 a alla seconda
PM= =AM
ma AM= x / radice di 2
PN=MB
MB= a-AM
sostituisco
x /radice di 2 * a - x /radice di 2 = 3/16 a alla seconda
fin qui è giusto?
ti giuro che sto impazzendo!
ma non mi è ancora venuto xD
allora dai dati del problema so che
A(rettangolo)= 3/16 A(quadrato)
quindi
PM*PN=3/16 a alla seconda
PM= =AM
ma AM= x / radice di 2
PN=MB
MB= a-AM
sostituisco
x /radice di 2 * a - x /radice di 2 = 3/16 a alla seconda
fin qui è giusto?
ti giuro che sto impazzendo!
si perfetto! Scritto in modo chiaro:
Comunque è giusto. Dimmi se ti servono i passaggi di risoluzione successivi.
[math]\frac{x}{\sqrt{2}}*(a-\frac{x}{\sqrt{2}})=\frac{3}{16}a^2[/math]
Comunque è giusto. Dimmi se ti servono i passaggi di risoluzione successivi.
ti ho allegato il file... =)
http://i44.tinypic.com/2czd64k.jpg
http://i44.tinypic.com/2czd64k.jpg
Dammi un po' di tempo che ti posto anche la fase finale. ;)
———————————————
Poi applichiamo la formula:
Da cui ricavi i valori di x in funzione di a. Come chiedeva il problema.
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[math]\frac{x}{\sqrt{2}}*(a-\frac{x}{\sqrt{2}})=\frac{3}{16}a^2[/math]
[math]\frac{x}{\sqrt{2}}*\frac{(\sqrt{2}a-x)}{\sqrt{2}}=\frac{3}{16}a^2[/math]
[math]\frac{\sqrt{2}ax-x^2}{2}=\frac{3}{16}a^2[/math]
Poi applichiamo la formula:
[math]x_{1;2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{(-\frac{b}{2})^2-ac}}{a}[/math]
Da cui ricavi i valori di x in funzione di a. Come chiedeva il problema.
certo!! cavolo ti sto rubando un sacco di tempo...
grazie davvero =D
ok tranquillo..=) ^^
grazie davvero =D
ok tranquillo..=) ^^
ho riaperto!
Dammi un altro po' di tempo che arrivo con le soluzioni se non riesci; mi sono accorto che sono un po' difficili da trovare. Fammi sapere se hai bisogno.
Riprendo domattina. Per oggi basta. Lasciate il thread aperto. Grazie.
Riprendo domattina. Per oggi basta. Lasciate il thread aperto. Grazie.
facendo così viene:
area rett: x * (a - x) = ax - x(2)
area quadrato: a * a = a(2)
ax - x(2) = 3/16 * a(2)
16 * ax - 16x(2) = 3a(2)
16x(2) - 16ax + 3a(2) = 0
a=16
b= -16 a
c= 3a(2)
Discriminante: 256a(2) - 192a(2) = 64 a(2)
x= 16 +/- 8a / 32
x(1)= 1/4 a
x(2) = 3/4 a
=D^^ ewwaiii!!! grazieee!!!
area rett: x * (a - x) = ax - x(2)
area quadrato: a * a = a(2)
ax - x(2) = 3/16 * a(2)
16 * ax - 16x(2) = 3a(2)
16x(2) - 16ax + 3a(2) = 0
a=16
b= -16 a
c= 3a(2)
Discriminante: 256a(2) - 192a(2) = 64 a(2)
x= 16 +/- 8a / 32
x(1)= 1/4 a
x(2) = 3/4 a
=D^^ ewwaiii!!! grazieee!!!
Prego. Potete chiudere. ;)
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