Problema sull'ellisse\2
ho incominciato a fare questo problema ma ho trovato grosse difficoltà.
traccia:
Scrivere l'equazione dell'ellisse avente i fuochi nei punti (+\- radical 2;1) e passante per il punto (3\2radical2;2);calcolare le coordinate dei vertici.
ho trovato O' che è l'origine degli assi traslato ovvero(0;1) , poi ho intersecato la prima ellisse mettendo il punto dato dal problema e poi ho inserito il punto 0' nella formula che si usa quando gli assi sn traslati ovvero:
(x-x0)^2|a^2 +(y-y0)^2|b^2=1
ma mi viene un equazione pazzesca, potete aiutarmi? grazie in anticipo.
traccia:
Scrivere l'equazione dell'ellisse avente i fuochi nei punti (+\- radical 2;1) e passante per il punto (3\2radical2;2);calcolare le coordinate dei vertici.
ho trovato O' che è l'origine degli assi traslato ovvero(0;1) , poi ho intersecato la prima ellisse mettendo il punto dato dal problema e poi ho inserito il punto 0' nella formula che si usa quando gli assi sn traslati ovvero:
(x-x0)^2|a^2 +(y-y0)^2|b^2=1
ma mi viene un equazione pazzesca, potete aiutarmi? grazie in anticipo.
Risposte
Ricorda che rispetto al nuovo sistema di assi cartesiani il punto di passaggio è $(\frac{3}{2} \sqrt{2}, 1)$. Sostituendo quindi il punto di passaggio si ottiene
$\frac{9}{2a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$
Inoltre $\sqrt{|a^2 - b^2|} = \sqrt{2}$, da cui $|a^2 - b^2| = 2$ (ho messo il valore assoluto perché non so chi sia più grande fra $a$ e $b$, ad ogni modo, provi a sostituire nell'equazione precedente $a^2 = 2+b^2$, se tutto torna va bene così, altrimenti sostituisci $b^2 = 2+a^2$).
$\frac{9}{2a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$
Inoltre $\sqrt{|a^2 - b^2|} = \sqrt{2}$, da cui $|a^2 - b^2| = 2$ (ho messo il valore assoluto perché non so chi sia più grande fra $a$ e $b$, ad ogni modo, provi a sostituire nell'equazione precedente $a^2 = 2+b^2$, se tutto torna va bene così, altrimenti sostituisci $b^2 = 2+a^2$).
Clever, non capisco un dato, ora tipper mi ha messo la pulce nell'orecchio.
Il punto dell'ellisse vale
3 fratto 2radical2
oppure
3radical2 fratto due ??
Nel primo caso ho impostato i calcoli ma le soluzioni vengono un po' complicate. Il delta non è un quadrato.
Riaggiornaci sui dati, ciao.
Il punto dell'ellisse vale
3 fratto 2radical2
oppure
3radical2 fratto due ??
Nel primo caso ho impostato i calcoli ma le soluzioni vengono un po' complicate. Il delta non è un quadrato.
Riaggiornaci sui dati, ciao.
Hai postato mentre modificavo il messaggio, effettivamente forse intendeva $\frac{3}{2\sqrt{2}}$, non cambierebbe poi tanto...
Ti conviene trovare prima l'asse maggiore 2a.
Indicati con $F_1,F_2,P$ i due fuochi ed il punto noto,si ha:
$2a=PF_1+PF_2=sqrt((3/2sqrt2-sqrt2)^2+(2-1)^2)+sqrt((3/2sqrt2+sqrt2)^2+(2-1)^2)=2sqrt6$
Pertanto $a=sqrt6$
Le equazioni della traslazione sono :
${(X=x),(Y=y-1):}$
Ne segue che il punto P,in coordinate traslate ,diventa $P(3/2sqrt2,1)$ e l'equazione
dell'ellisse e':
(a) $(X^2)/6+(Y^2)/(b^2)=1$
Imponendo il passaggio per P risulta:
$3/4+1/(b^2)=1$ da cui $b=2$
Pertanto la (a) diventa:
$(X^2)/6+(Y^2)/4=1$ e in coordinate non traslate $(x^2)/6+((y-1)^2)/4=1$
Ovvero:
$2x^2+3y^2-6y-9=0$
Il resto e' facile.
karl
Indicati con $F_1,F_2,P$ i due fuochi ed il punto noto,si ha:
$2a=PF_1+PF_2=sqrt((3/2sqrt2-sqrt2)^2+(2-1)^2)+sqrt((3/2sqrt2+sqrt2)^2+(2-1)^2)=2sqrt6$
Pertanto $a=sqrt6$
Le equazioni della traslazione sono :
${(X=x),(Y=y-1):}$
Ne segue che il punto P,in coordinate traslate ,diventa $P(3/2sqrt2,1)$ e l'equazione
dell'ellisse e':
(a) $(X^2)/6+(Y^2)/(b^2)=1$
Imponendo il passaggio per P risulta:
$3/4+1/(b^2)=1$ da cui $b=2$
Pertanto la (a) diventa:
$(X^2)/6+(Y^2)/4=1$ e in coordinate non traslate $(x^2)/6+((y-1)^2)/4=1$
Ovvero:
$2x^2+3y^2-6y-9=0$
Il resto e' facile.
karl
grazie a tutti mi trovo cn Karl.
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