Problema sull'ellisse

[indovina]

traccia
trovare l'euazione dell'ellisse riferita agli assi, inscritta nel triangolo di vertici A(-4;-2), B(0;4) C(4;-2).
determinare il rapporto tra l'area del triangolo dato e l'area del trapezio avente per vertici i punti di contatto dell'ellisse simmetrici rispetto all'asse delle y e i fuochi dell'ellisse.

[minimo]

[math]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1[/math]

questa è l'equazione dell'ellisse riferita agli assi.

Adesso disegna i vertici del triangolo su un sistema di riferimento. La retta per AC tocca l'ellisse nel punto P(-2,0), lo piazzi nell'equazione dell'ellisse e ti trovi il valore di a.

Poi scrivi la retta per BC e l'intersechi con l'ellisse. Quello che viene fuori sarà un polinomio in y ed a cioè

[math]f(y,b)=0[/math]

che contiene tutti i punti comuni alla retta ed all'ellisse (al variare del parametro b). In realtà fissato b si ottiene un valore di y, solo che a noi ce serve b.

D'altra parte deve esserci sull'ellisse anche il punto simmetrico la cui coordinata y è la stessa. In soldoni vuol dire che se intersechi l'ellisse con la retta AB otterrai l'equazione

[math]g(y,b)=0[/math]

. Allora poni

[math]g(y,b)=0=f(y,b) \Rightarrow g(y,b)=f(y,b)[/math]

così si dovrebbero eliminare i monomi in y e quello che resta è un'equazione in b da risolvere.

Pongo

[math]g(y,b)=f(y,b) [/math]

perché i punti che si ottengono intersecando le due rette con l'ellisse sono simmetrici rispetto all'asse delle y e dunque la coordinata y non può cambiare. Se non può cambiare vuol dire che i due polinomi sono "identici" ovvero ammettono le stesse soluzioni, per cui mi aspetto che i monomi in y si cancellino tutti.