Problema sull'ellisse ?

[anonymous51]

Calcola la misura dell'area del rettangolo inscritto nell'ellisse di equazione 4x² + y² = 8 e avente il perimetro di misura 12.
( Indica con P ( x ; y ) il vertice del rettangolo, appartenente all'ellisse, nel 1° quadrante. Dovrà essere 4x + 4y = 12 ... )


Risultato :
S = 8 oppure S = 56/25


Grazie.

[Pachisi]

Parti dall'aiuto. $4x+4y=12$ diventa $x+y=3$. Ora, visto che il rettangolo e` inscritto nell'ellisse, il punto $P(x,y)$ dovra` appartenere all'ellisse e, dunque, sara` anche $4x^2+y^2=8$. Ora devi solo risolvere il sistema \begin{cases}4x^2+y^2=8\\x+y=3\end{cases} e ricordare che l'area del rettangolo sara` $(2x)(2y)=4xy$.

[@melia]

Ricorda anche di aggiungere la condizione che P(x,y) stia nel primo quadrante, cioè $x>0 ^^ y>0$

[anonymous51]

"Pachisi":Parti dall'aiuto. $4x+4y=12$ diventa $x+y=3$. Ora, visto che il rettangolo e` inscritto nell'ellisse, il punto $P(x,y)$ dovra` appartenere all'ellisse e, dunque, sara` anche $4x^2+y^2=8$. Ora devi solo risolvere il sistema \begin{cases}4x^2+y^2=8\\x+y=3\end{cases} e ricordare che l'area del rettangolo sara` $(2x)(2y)=4xy$.

Il problema mi è uscito ma vorrei sapere da dove è uscito 4x + 4y = 12 .

Grazie.

[Pachisi]

Se consideri il punto $P(x,y)$ nel primo quadrante, $x$ e` il "lato orizzontale", $y$ e` il "lato verticale" (assumendo che i lati del rettangolo siano paralleli agli assi cartesiani). Quindi, $x+y$ rappresenta il perimetro di un quarto del rettangolo. Il perimetro e` allora $4(x+y)$.