Problema sulla parabola....URGENTEEE

Fai una domanda Tutte le categorie

13 set 2007, 18:50

una parabola con asse di simmetria coincidente con l'asse y e con il vertice nel punto O(0;0) ha in comune con una retta r il punto A (2;5). La retta r ha coefficiente angolare 1/2 e interseca ulteriormente la parabola nel punto B. Determinare la misura S dell'area del triangolo OAB. è urgente....

Risposte

IPPLALA

13 set 2007, 17:18

Cosa c'è di difficile?

L'hai fatto te?

pukketta

13 set 2007, 21:18

ci sto pensando io!

Allora iniziamo..

devi calcolarti l'equazione della parabola sapendo che essa ha il vertice coincidente il l'origine degli assi cartesiani e che il suo asse di simmetria è coincidente proprio cn l'asse y! Qste 2 informazioni già ti dicono che nel equazione genrale

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

il coeficc b e il coeficc c sono = a 0!
Comunque al di là di qsto ti faccio tutto il sistema cosi quindi capisci xke sono =a 0!

ye

x calcolarla utilizziamo il vertice (che ci da 2 condizioni) e dobbiamo imporre il passaggio x A.

allora

[math]b=0[/math]

xke utilizzando il verrtice si ha che

[math]\frac{-b}{2a}=0[/math]

da cui

[math]b=0[/math]

ora prendiamo in considerazione gli altri coeff (cioè a &c) e li calcoliamo

[math]\begin{cases}\frac{-\Delta}{4a}=0 \\ 5=4a+2b+c\end{cases}[/math]

sapendo che b=0 abbiamo che:

[math]\begin{cases}4ac=0 \\ c=5-4a\end{cases}[/math]

da cui

[math]\begin{cases}4a(5-4a)=0 \\ c=5-4a\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}20a-16a^2=0 \\ c=5-4a\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}4a(5-4a)=0 \\ c=5-4a\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}(5-4a)=0 \\ c=5-4a\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}a=\frac{5}{4} \\ c=0\end{cases}[/math]

Dunque l'equazione della parabola in questione con a>0 è :

[math]y=\frac{5}{4}x^2[/math]

Ora calcoliamo l'equazione della retta sapendo il suo coeff angolare e un suo punto, cioè il punto A.

FORMULA GENERALE:

[math] y-y_0=m(x-x_0)[/math]

da cui

[math]y-5=\frac{1}{2}(x-2)[/math]

[math]y-5=\frac{1}{2}x - 1[/math]

da cui l'equazione della retta è :

[math]y=\frac{1}{2}x +4[/math]

Ora calcoliamo il punto B che è l'altro punto in comune tra la retta e la parabola. Per calcolarlo mettiamo a sistema la retta e la parabola..ci aspettiamo che risolvendo l'equazione di 2° grado (x trovare i due punti A e B) un valore della x sarà = a 2 (corrisponde al punto A).

[math]\begin{cases}y=\frac{5}{4}x^2 \\ y={1}{2}x+4\end{cases}[/math]

usiamo il metodo del confronto

[math]\begin{cases}\frac{1}{2}x+4={5}{4}x^2 \\ y={1}{2}x+4\end{cases}[/math]

eòlimino i denominatori e ho che: (la 2^ equazione nn la riscrivo xke è semrpe quella!

[math]5x^2-2x-16=0[/math]

ora risolvo qst equazione cn la formula

[math]x_1_/_2=\frac{1\pm\sqrt{1+80}}{5}[/math]

da cui:

[math]x_1_/_2={1\pm9}{5}[/math]

[math]x_1=2[/math]

[math]x_2= -8/5[/math]

[math]A(2;5)[/math]

[math] B(\frac{-8}{5};\frac{16}{5})[/math]

(l'ordinata del punto B l'ho calcolata sostituendo la x nella retta)

Ora x calcolare l'area del triangolo interessato è necessario che tu prenda in considerazione i vertici di qsto triangolo..

[math]A=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A (y_C - y_B) + x_B(y_A - y_C) + x_C (y_B - y_A) \big|. [/math]

Mettendo in ordine abbiamo che:

A(2;5)
B(-8/5;16/5)
C(0;0)

dunque, facendo i calcoli con l'ultima formula che ti ho scritto...ho che l'area di quella parte che ti interessa è =a: A=36/5 (cm^2)

IMPORTANTE: TI HO REALIZZATO ANKE IL DISEGNO, NEL CASO TU VOGLIA CAPIRE A FONDO...IL PROBLEMA è KE NON RIESCO A POSTARLO...NEL CASO TI DOVESSE SERVIRE CHIEDIMELO...E CERCHERò DI TROVARE UNA SOLUZIONE!!!

Spero tu capiska qsti esercizi, d'altronde sono semplicisssimi e una volta capito il meccanismo il gioco è fatto!!....domani sarò qui x eventuali chiarimenti!! ciao & buonanotte

pukketta