Problema sulla parabola

[diablo84]

Aiutatemi a risolvere il seguente problema sulla parabola:

Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y, passante per i punti A(0;0) e B(4;0) e tangente nell'origine alla retta y=x.

Grazie anticipatamente.

[Sk_Anonymous]

La parabola passante per due punti x1 e x2 dell'asse x e' del tipo:
y=a(x-x1)(x-x2).Nel nostro caso x1=0 x2=4,quindi:
y=ax(x-4) ovvero y=ax^2-4ax.La tangente nell'origine e' formata
dai termini di 1° grado cioe' y=-4ax quindi,confrontando,deve
essere a=-1/4.Conclusione l'equazione della parabola e':
y=-1/4*x^2+x.
karl.





Modificato da - karl il 13/02/2004 21:40:07

[fireball1]

L'equazione generica di una parabola passante per l'origine è: y=ax^2+bx.
Imponiamo che passi per il punto B sostituendo le coordinate del punto
nell'equazione generica, ottenendo così: 16a+4b=0. Questa è una prima relazione.
La seconda relazione si trova con il sistema:
{y=x
{y=ax^2+bx
ax^2+bx=x
ax^2+bx-x=0
ax^2+x(b-1)=0
Ora imponiamo DELTA=0 per avere tangenza (b^2-4ac=0); in questo caso
non c'è il termine noto c, per cui si ha:
b^2-2b+1=0
Risolviamo rispetto a b e otteniamo b=1.
Sostituiamo il valore di b nella relazione che avevamo trovato prima
(cioè 16a+4b=0) e otteniamo:
16a+4=0
a=-1/4
Quindi l'equazione della parabola richiesta è: y=(-1/4)x^2+x

[Camillo]

Se conosci già l'uso delle derivate si può operare così per ottenere la seconda relazione.
Poiche la parabola deve essere tangente nell'origine alla retta di equazione : y=x , che ha coefficiente angolare =1 , bisogna che la derivata della parabola in (0,0) sia = 1.
La derivata di : y= ax^2+bx è : y' = 2ax+b che vale: b in (0,0).
Perciò : b=1 , poi ti riallacci a quanto scrive Fireball