Problema sulla circonferenza (40334)

[fra@fra]

Determinare l'equazione, le coordinate del centro e il raggio della circonferenza passante per il punto A(0,3) e tangente alla retta x+2y-4=0 nel punto di ascissa 4. Verificare che il rapporto fra le misure delle corde staccate dalla circonferenza rispettivamente sull'asse x e sull'asse y è 25/38.



questo problema non riesco proprio a capirlo... gentilmente potreste spiegarmelo più dettagliatamente!!! grazie

[BIT5]

L'equazione canonica della circonferenza e':

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

Sai che passa per il punto A(0,3) pertanto la prima condizione ti e' data dall'appartenenza del punto alla curva:

Sostituisci dunque le coordinate alla circonferenza:

[math] 0^2+3^2+a0+3b+c=0 \to 9+3b+c=0 [/math]

e qui hai la prima equazione del sistema.

Sai inoltre che la retta tangente tocca la circonferenza nel punto di ascissa = 4.

il punto appartiene dunque, sia alla circonferenza che alla retta.

Grazie alla retta trovi l'ordinata del punto:

[math] x+2y-4=0 \to 4+2y-4=0 \to y=0 [/math]

quindi il punto (0,4) appartiene sia alla retta che alla circonferenza.

Pertanto come sopra imponi che la circonferenza passi per quel punto

[math] 16+4b+c=0 [/math]

grazie al fatto che queste due condizioni non presentano il parametro a, puoi metterle a sistema e trovare b e c

[math] \{ 9+3b+c=0 \\ 16+4b+c=0 [/math]

Da cui risolvi il sistema e trovi

[math] b=-7 [/math]

e

[math] c=12 [/math]

Pertanto la circonferenza sara'

[math] x^2+y^2+ax-7b+12=0 [/math]

ci manca ancora a.

La circonferenza e' tangente alla retta.

Mettiamo a sistema la circonferenza (con il parametro) e la retta.

[math] \{x^2+y^2+ax-7y+12=0 \\ x+2y-4=0 [/math]

Esplicitiamo nella seconda la x

[math] \{x^2+y^2+ax-7y+12=0 \\ x=-2y+4 [/math]

sostituiamo a tutte le x della circonferenza il valore dato dalla retta (-2y+4)

[math] (-2y+4)^2+y^2+a(-2y+4)-7y+12=0 [/math]

Svolgi i calcoli

[math] 4y^2-16y+16+y^2-2ay+4a-7y+12=0 \to 5y^2-23y-2ay+4a-28=0 [/math]

E' un'equazione di secondo grado. Ricorda che a e' un parametro (e pertanto dev'essere trattato come fosse un numero) l'incognita e' la y..

quindi dobbiamo ancora riscrivere l'equazione di secondo grado nella forma ay^2+by+c=0

[math] 5y^2+y(-23-2a)+4a-28=0 [/math]

Le 2 soluzioni (variabili a seconda di a) esprimono le ordinate dei punti di intersezione tra la circonferenza e' la retta.

Affinche' la retta sia tangente, i punti di intersezione tra retta e tangente dovranno essere 2 coincidenti (ovvero uno solo) e per fare in modo che un'equazione di secondo grado ci dia due valori conincidenti, dobbiamo porre il Delta=0.

quindi

[math] \Delta=0 \to (-23-2a)^2-4(5)(4a-28)=0 [/math]

Fai i calcoli, risolvi e trovi i valori di a tale che l'equazione (questa volta con incognita a) sia risolta.

ricontrolla i miei calcoli, il procedimento e' corretto.