Problema sul teorema di euclide

[Nikolaj]

Determinare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l'ipotenusa supera il cateto minore di 30 cm e che l'altezza relativa all'ipotenusa è uguale ai 3/4 della proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa.

[ciampax]

Idee tue? Ci hai almeno provato?

[Nikolaj]

Non ne ho idea. Ho iniziato a trovarmi i dati ma non saprei come continuare.

[ciampax]

Allora, vediamo di scrivere le cose per bene. Indichiamo con

[math]A,B,C[/math]

i vertici del triangolo, in modo che

[math]C[/math]

sia quello con l'angolo retto. L'ipotenusa risulta

[math]AB[/math]

e se indichiamo con

[math]CA[/math]

il cateto minore, allora

[math]AB=CA+30[/math]

. Detto

[math]H[/math]

il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa e quindi

[math]CH[/math]

tale altezza, risulta pure

[math]CH=\frac{3}{4}\cdot BH[/math]

.

Ora, il secondo teorema di Euclide afferma che

[math]CH^2=AH\cdot BH[/math]

, per cui sostituendo

[math]\frac{9}{16}\cdot BH^2=AH\cdot BH[/math]

e dividendo per

[math]BH[/math]

si ha

[math]AH=\frac{9}{16}\cdot BH[/math]

. D'altra parte

[math]AB=AH+BH=\frac{25}{16}\cdot BH[/math]

. Per il primo teorema di Euclide, si ha pure

[math]CA^2=AB\cdot AH=\frac{25}{16}\cdot BH\cdot \frac{9}{16}\cdot BH=\frac{225}{256}\cdot BH^2[/math]

e quindi

[math]CA=\frac{15}{16} BH[/math]

. Ora riesci a concludere?