Problema sui triangoli rettangoli

[jimmy1600]

Nel trapezio rettangolo ABCD, la base maggior AB misura a e il lato obliquo BC è perpendicolare alla diagonale AC. Posto $A\hat BC = x$, determina x in modo che sia verificata la relazione 3AD + DC = 2AB.
Le soluzioni sono $x = \pi / 4$ e $x = arctan 2$
Sinceramente non saprei nemmeno da dove partire, ringrazio in anticipo chiunque mi darà una mano.

[seb1]

Innanzitutto nominiamo un attimo i segmenti per avere una scrittura meno pesante:\begin{align*}
\overline{AB}&=a_1\\
\overline{BC}&=b_1\\
\overline{CD}&=a_2\\
\overline{AD}&=b_2\\
\overline{AC}&=d
\end{align*}scrittura per la quale la condizione imposta nel problema risulta: \(3b_2+a_2=2a_1\).
Ora notiamo che \(\widehat{DAC}=x\). Allora vale:\begin{cases}
b_1\tan{x}=d\\
b_2\tan{x}=a_2
\end{cases}Grazie al teorema di Pitagora si hanno inoltre le uguaglianze:\begin{cases}
b_1^2+d^2=a_1^2\\
a_2^2+b_2^2=d^2
\end{cases}Inserendo le precedenti in quest'ultime:\begin{equation*}
\begin{cases}
a_2^2=\frac{\tan^2{x}}{1+\tan^2{x}}d^2\\
d^2=\frac{\tan^2{x}}{1+\tan^2{x}}a^2
\end{cases}
\implies a_2=\frac{\tan^2{x}}{1+\tan^2{x}}a_1
\end{equation*}Sostituendo dunque \(a_2=\frac{\tan^2{x}}{1+\tan^2{x}}a_1\) e \(b_2=\frac{a_2}{\tan{x}}=\frac{\tan{x}}{1+\tan^2{x}}a_1\) in \(3b_2+a_2=2a_1\) si ottiene:\[1=\frac{3\tan{x}}{2+\tan^2{x}}\]dove si è tenuto conto che \(x\neq0\). Infine da questa si ha:\[\tan^2{x}-3\tan{x}+2=0\implies(\tan{x}-2)(\tan{x}-1)=0\implies\tan{x}=2\vee\tan{x}=1\]cioè\[x=\arctan{2}\vee x=\frac{\pi}{4}\]Può darsi che ci sia un metodo più rapido; di certo, però, è il primo che m'è venuto in mente. Si poteva, inoltre, ragionare per un solo triangolo rettangolo e adattare la nomenclatura al secondo, ma non volevo lasciare "buchi". Spero sia d'aiuto

[@melia]

Per prima cosa risolvi il triangolo rettangolo ABC, poi, dopo aver osservato che l'angolo $hat(DAC)$ è complementare di $hat(BAC)$ come $hat(ABC)$, quindi $hat(DAC)=hat(ABC)=x$ risolvi anche il triangolo DAC di cui conosci l'ipotenusa e gli angoli. Sostituisci i dati trovati nell'equazione e dovresti ottenere $3asinx cosx + a sin^2 x=2a$, l'equazione è riducibile ad omogenea di secondo grado.

[jimmy1600]

Grazie mille!