Problema sui teoremi seno e coseno

[valenta93]

Ciao a tutti. scusate se il titolo della domanda non è molto chiaro.

devo risolvere questo problema:

in un triangolo ABC l'angolo ACB è la metà dell'angolo ABC; BH e CK sono le altezze relative rispettivamente ai lati AC e AB. Determinare l'ampiezza x dell'angolo ACB in modo che risulti 2BH^2 + 6CK^2 = 5BC^2

mentre altri esercizi sono riuscita a risolverli con questo non so proprio da dove partire.
di teoremi abbiamo fatto i seguenti:

-quelli sui triangoli rettangoli (un cateto è uguale al prodotto tra l'ipotenusa e il seno dell'angolo opposto e gli altri 3)
-area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo opposto
-teorema della corda
-teorema del coseno (carnot)
-teorema dei seni

grazie in anticipo :)

[BIT5]

Considera i triangoli BCH e CKB

Essi sono entrambi rettangoli e insistono sulla stessa ipotenusa BC.

Chiamo per semplicita' BC=l.

Dalle ipotesi sappiamo che l'angolo ACB=x e che ACB=1/2ABC da cui x=1/2ABC ovvero ABC=2x

BH e' il cateto opposto all'angolo x pertanto misurera'

[math] \bar{BH}=l \sin x [/math]

Mentre CK e' il cateto opposto all'angolo 2x pertanto sara'

[math] CK=l \sin (2x) [/math]

Per le formule di duplicazione:

[math] \sin (2x) = 2 \sin x \cos x [/math]

Quindi

[math] CK = 2l \sin x \cos x [/math]

Per quanto imposto, BC=l

La relazione sara':

[math] 2 (l \sin x)^2 + 6 (2l \sin x \cos x)^2 = 5l^2 [/math]

Ovvero

[math] 2l^2 \sin^2 x + 24l^2 \sin^2 x \cos^2 x =5l^2 [/math]

Semplifichi l e rimane

[math] 2 \sin^2x + 24 \sin^2x \cos^2 x = 5 [/math]

Per la relazione fondamentale della trigonometria:

[math] \sin^2x+ \cos^2x=1 \to \cos^2x=1- \sin^2x [/math]

Avremo

[math] 2 \sin^2x + 24 \sin^2x (1- \sin^2x) = 5 [/math]

E dunque

[math] 2 \sin^2x + 24 \sin^2x - 24 \sin^4x = 5 [/math]

Posto

[math] t= \sin^2 x [/math]

Avremo

[math] 26t-24t^2=5 \to 24t^2-26t+5=0 [/math]

uso la ridotta:

[math] t= \frac{13 \pm \sqrt{169-120}}{24} = \frac{13 \pm 7}{24} [/math]

Ovvero

[math] t_1= \frac{20}{24}= \frac{5}{6} [/math]

[math] t_2= \frac{6}{24}= \frac{1}{4} [/math]

Da cui

[math] \sin x = \pm \sqrt{ \frac{5}{6}} [/math]

[math] \sin x = \pm \sqrt{ \frac{1}{4}} [/math]

I valori con il meno li escludiamo, perche' il seno e' negativo per angoli superiori a 180 gradi pertanto non accettabili all'interno di un triangolo.

Quindi per il primo valore

[math] x= arcsin \sqrt{\frac56} [/math]

[math] x= \frac{\pi}{6} \cup x= \frac56 \pi [/math]

Attenzione solo a un particolare.

Essendo l'angolo in B = 2x, dovra' essere (considerando che la somma degli angoli interni di un triangolo e' 180)

[math] x+2x