Problema Sui Quadrilateri..[3]

[Antonio_Esposito95]

In un trapezio isoscele,i punti medi delle diagonali ed il punto medio di una base sono vertici di un triangolo isoscele

[BIT5]

Possiamo fare una dimostrazione iniziale, supponendo di non conoscere le proprieta' delle diagonali di un trapezio isoscele.

Disegna il trapezio di base maggiore AB e base minore CD

Traccia le diagonale AC e BD.

Considera i triangoli ABD e ABC

Essi hanno AD=BC perche' lati di un trapezio isoscele.
condividono il lato AB
hanno gli angoli DAB=CBA perche' angoli alla base di un triangolo isoscele.
Pertanto i due triangoli sono congruenti.

E quindi DB=CA perche' lati corrispondenti di due triangoli congruenti

(e quindi in un trapezio isoscele le diagonali sono congruenti )
inoltre hanno CAB=DBA perche' angoli corrispondenti di due triangoli congruenti

(e quindi gli angoli che le diagonali formano con la base sono congruenti)

Detto questo (abbiamo dimostrato due proprieta' del triangolo isoscele) segnamo con M e N i punti medi delle diagonali AC e BD , e con O il punto medio della base AB.

I triangoli AMO e OBN sono congruenti, in quanto:

AM=BN perche' meta' delle diagonali (che sono congruenti)
AO=OB perche' meta' della base maggiore
Angolo MAO = Angolo NBO perche' angoli formati dalle diagonali con la base maggiore (dimostrazione fatta prima)

Pertanto MO=NO perche' lati corrispondenti di due triangoli congruenti.

Analogamente dimostri con il punto medio Q sulla base CD, dal momento che avendo dimostrato prima che i triangoli ABD e ABC sono congruenti avremo anche l'angolo NDC = angolo MCD dei triangoli MQC e NQD perche' entrambi dati da angoli congruenti (ADC e BCA da cui togliamo due angoli congruenti (ADB e BCA)