Problema sui fasci di parabole
Ciao ragazzi,
ho un problema con questo esercizio:
Studia il fascio di parabole $y=kx^2+2x-k+1$ e trova la parabola $\gamma_1$ che ha vertice di ordinata $3$ e la parabola $\gamma_2$ tangente alla retta di equazione $y=2x-2$.
Nella parte di piano racchiusa da $\gamma_1$ e $\gamma_2$ determina l'equazione di una retta parallela all'asse $y$ che intercetta una corda $PQ$ di lunghezza $3$.
Tracciate le tangenti alla due parabole nei punti $P$ e $Q$(con $P$ nel II quadrante) che si intersecano nel punto $T$, trova l'area del triangolo $PQT$.
Sono riuscita a fare il primo punto ed ho trovato $\gamma_1$ $:y=-x^2+2x+2$ e $\gamma_2$ $:y=3x^2+2x-2$ ed i punti base del fascio $A(-1,-1)$ e $B(1,3)$. Purtroppo non ho idea di come si svolgano gli altri due punti, qualche aiutino?
Grazie mille!
ho un problema con questo esercizio:
Studia il fascio di parabole $y=kx^2+2x-k+1$ e trova la parabola $\gamma_1$ che ha vertice di ordinata $3$ e la parabola $\gamma_2$ tangente alla retta di equazione $y=2x-2$.
Nella parte di piano racchiusa da $\gamma_1$ e $\gamma_2$ determina l'equazione di una retta parallela all'asse $y$ che intercetta una corda $PQ$ di lunghezza $3$.
Tracciate le tangenti alla due parabole nei punti $P$ e $Q$(con $P$ nel II quadrante) che si intersecano nel punto $T$, trova l'area del triangolo $PQT$.
Sono riuscita a fare il primo punto ed ho trovato $\gamma_1$ $:y=-x^2+2x+2$ e $\gamma_2$ $:y=3x^2+2x-2$ ed i punti base del fascio $A(-1,-1)$ e $B(1,3)$. Purtroppo non ho idea di come si svolgano gli altri due punti, qualche aiutino?
Grazie mille!
Risposte
ciao Cristiana
per il punto 3... lo hai fatto il disegno? è molto importante "vedere" di cosa stiamo parlando...
la retta di cui si parla ha equazione $x=k$ scusa se ho usato di nuovo $k$, abitudine...
per arrivare alla soluzione... immagina per un momento, così a livello solo di esercizio, che la retta cercata sia l'asse y, di equazione $x=0$... dove intersecherebbe le due parabole?? devi sostituire $x=0$ nelle due equazioni di parabole ottenendo le ordinate
$y_1=2$
$y_2=-2$
e la lunghezza della corda intercettata sarebbe $y_1-y_2=4$ ne convieni?
Ora passiamo al nostro caso, la retta $x=k$ interseca le due parabole in
$y_1=-k^2+2k+2$
$y_2=3k^2+2k-2$
e la corda sarà lunga
$y_1-y_2=-k^2+2k+2-(3k^2+2k-2)=-4k^2+4$
e questa lunghezza deve essere uguale a $3$... ma allora
$-4k^2+4=3$
$4k^2=1$
$k=+-1/2$
e la retta (le rette) sono
$x=+-1/2$
ora trova le coordinate di P e Q da sola... riesci a concludere il quarto punto? Attenzione che P è nel secondo quadrante quindi considera che la retta di prima sarà solo la $x=-1/2$.
Il risultato dovrebbe essere $P(-1/2, 3/4)$ e $Q(-1/2, -9/4)$
Posta i tuoi calcoli... se riesci affronta il quarto punto da sola... come modo di procedere farei
1) le derivate delle due parabole calcolate nei punti P e Q (corrispondono ai coefficienti angolari delle due rette)
2) imponi che le rette passino per P e Q e le determini
3) le fai intersecare e trovi le coordinate di T, a me viene $T(-5/4,-3/2)$
4) la area del triangolo conoscendo le coordinate la trovi, se hai già studiato queste cose, con la formula
$A = 1/2 ((x_1, x_2, x_3),(y_1, y_2, y_3),(1,1,1))$
Se non sai di che cosa parlo... trova un metodo alternativo che ti fornisca base e altezza
ciao!!
per il punto 3... lo hai fatto il disegno? è molto importante "vedere" di cosa stiamo parlando...
la retta di cui si parla ha equazione $x=k$ scusa se ho usato di nuovo $k$, abitudine...
per arrivare alla soluzione... immagina per un momento, così a livello solo di esercizio, che la retta cercata sia l'asse y, di equazione $x=0$... dove intersecherebbe le due parabole?? devi sostituire $x=0$ nelle due equazioni di parabole ottenendo le ordinate
$y_1=2$
$y_2=-2$
e la lunghezza della corda intercettata sarebbe $y_1-y_2=4$ ne convieni?
Ora passiamo al nostro caso, la retta $x=k$ interseca le due parabole in
$y_1=-k^2+2k+2$
$y_2=3k^2+2k-2$
e la corda sarà lunga
$y_1-y_2=-k^2+2k+2-(3k^2+2k-2)=-4k^2+4$
e questa lunghezza deve essere uguale a $3$... ma allora
$-4k^2+4=3$
$4k^2=1$
$k=+-1/2$
e la retta (le rette) sono
$x=+-1/2$
ora trova le coordinate di P e Q da sola... riesci a concludere il quarto punto? Attenzione che P è nel secondo quadrante quindi considera che la retta di prima sarà solo la $x=-1/2$.
Il risultato dovrebbe essere $P(-1/2, 3/4)$ e $Q(-1/2, -9/4)$
Posta i tuoi calcoli... se riesci affronta il quarto punto da sola... come modo di procedere farei
1) le derivate delle due parabole calcolate nei punti P e Q (corrispondono ai coefficienti angolari delle due rette)
2) imponi che le rette passino per P e Q e le determini
3) le fai intersecare e trovi le coordinate di T, a me viene $T(-5/4,-3/2)$
4) la area del triangolo conoscendo le coordinate la trovi, se hai già studiato queste cose, con la formula
$A = 1/2 ((x_1, x_2, x_3),(y_1, y_2, y_3),(1,1,1))$
Se non sai di che cosa parlo... trova un metodo alternativo che ti fornisca base e altezza
ciao!!
Allego inoltre disegno per essere di aiuto
Sei stata chiarissima! Grazie mille, sono riuscita a risolverlo. Adesso ho capito la tecnica. Il disegno è il 90% dell'esercizio!
Si Cristina, è proprio così!!!
PS: sono un "maschietto"
PS: sono un "maschietto"
Le mie solite pessime figure! Nella fretta avevo letto "milena". Non chiedermi come ci sia riuscita. Scusami...... 
ahaha ma figurati!!
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