Problema sugli integrali definiti.

[mario.sorrentino1]

Trova la primitiva di F(x) della funzione f(x)=ax^2+bx+c che ha un flesso nel punto A (2 ; 2/3) ed è tangente all'asse x nel punto B(3 ; 0).

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Se riusciste ad aiutarmi, mi fareste un favore enorme. Ve ne sono grato.

[ciampax]

Partiamo dal calcolo della primitiva generale. Dobbiamo integrare, in senso indefinito, la funzione

[math]f(x)[/math]

e pertanto

[math]F(x)=\int(ax^2+bx+c)\ dx=\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx+k[/math]

Partiamo dalla richiesta del flesso: affinche in

[math]x=2[/math]

ci sia un flesso, la derivata seconda della funzione

[math]F(x)[/math]

deve annullarsi in tale punto. Quindi

[math]F''(x)=2ax+b\ \Rightarrow\ F''(2)=4a+b=0\ \Rightarrow\ b=-4a[/math]

Inoltre, il punto di flesso deve avere ordinata

[math]2/3[/math]

, e pertanto

[math]F(2)=2/3[/math]

da cui

[math]\frac{8a}{3}+\frac{4b}{2}+2c+k=\frac{2}{3}[/math]

o ancora

[math]\frac{8a}{3}-8a+2c+k=\frac{2}{3}\ \Rightarrow\ -16a+6c+3k=2[/math]

Per quanto riguarda la richiesta della tangenza, per prima cosa la derivata prima deve annullarsi in

[math]x=3[/math]

, per cui

[math]F'(x)=f(x)\ \Rightarrow\ F'(3)=f(3)=9a+3b+c=0\ \Rightarrow\ -3a+c=0[/math]

e quindi

[math]c=3a[/math]

. Inoltre, la funzione deve passare per il punto dato, e quindi

[math]F(3)=0[/math]

da cui

[math]9a+\frac{9b}{2}+3c+k=0\ \Rightarrow\ k=0[/math]

Sostituendo nella seconda condizione trovata abbiamo

[math]-16a+12a=2\ \Rightarrow\ a=-\frac{1}{2}[/math]

Quindi la funzione risulta

[math]F(x)=-\frac{x^3}{6}+x^2-\frac{3}{2}[/math]

[mario.sorrentino1]

Davvero, non so come ringraziarti. Mi hai salvato, grazie mille! :move

[puddu978]

La soluzione delle equazioni

[math]4a+b=0,\frac{8}{3}a+2b+2c+k=\frac{2}{3},[/math]

[math]9a+3b+c=0,9a+\frac{9}{2}b+3c+k=0[/math]

non è quella indicata nel post di ciampax ma la seguente:

[math]a=1,b=-4,c=3,k=0[/math]

.