Problema sugli integrali
F(x)= $ (1-x^2)/(1+x^2) $
Il testo chiede di verificare che la figura illimitata individuata dalla asse y , dalla funzione e dalla retta y=-1 ha area uguale a quella di un cerchio di raggio 1
Io avevo pensati di calcolare l integrale a 0a +infinito della funzione dato che la retta y=-1 è asintoto orizzontale quindi non esclude nessuna parte del grafico. Tuttavia calcolando la primitiva di f(x) il risultato è (2arcotang(x)-x) che calcolato in infinito mi da come risultati pigreco/2 -infinito
Ho controllato online coi vari calcolatori il risultati dell integrale e mi sembra corretto.
Non credo si debbano usare metodi approssimativi quali rettangoli,trapezi o parabole dato che non Vi è un intervallo preciso.
Qualcuno sa come aiutarmi?
Il testo chiede di verificare che la figura illimitata individuata dalla asse y , dalla funzione e dalla retta y=-1 ha area uguale a quella di un cerchio di raggio 1
Io avevo pensati di calcolare l integrale a 0a +infinito della funzione dato che la retta y=-1 è asintoto orizzontale quindi non esclude nessuna parte del grafico. Tuttavia calcolando la primitiva di f(x) il risultato è (2arcotang(x)-x) che calcolato in infinito mi da come risultati pigreco/2 -infinito
Ho controllato online coi vari calcolatori il risultati dell integrale e mi sembra corretto.
Non credo si debbano usare metodi approssimativi quali rettangoli,trapezi o parabole dato che non Vi è un intervallo preciso.
Qualcuno sa come aiutarmi?
Risposte
Ciao Anto.tesone 1
Hai fatto un errore, cerco di spiegartelo
Anzitutto la funzione
$f(x)=(1-x^2)/(1+x^2)=2/(1+x^2)-1$
e questo ci sarà utile per il calcolo dell'integrale
Il tuo errore è che non devi integrare la funzione e basta... così facendo calcoli l'area sottesa tra la funzione e l'asse delle x... non ha senso... qui invece ti si chiede di calcolare l'area tra la funzione e la retta y=-1 quindi devi fare una differenza di funzioni nell'integrale
Per cui l'integrale corretto è
$int_0^infty (f(x)-(-1)) dx = int_0^infty (f(x)+1) dx = int_0^infty 2/(1+x^2) dx =$
$=2 arctg(x)_0^infty = 2 pi/2 = pi$
...and we have done
tutto chiaro?
ciao
Hai fatto un errore, cerco di spiegartelo
Anzitutto la funzione
$f(x)=(1-x^2)/(1+x^2)=2/(1+x^2)-1$
e questo ci sarà utile per il calcolo dell'integrale
Il tuo errore è che non devi integrare la funzione e basta... così facendo calcoli l'area sottesa tra la funzione e l'asse delle x... non ha senso... qui invece ti si chiede di calcolare l'area tra la funzione e la retta y=-1 quindi devi fare una differenza di funzioni nell'integrale
Per cui l'integrale corretto è
$int_0^infty (f(x)-(-1)) dx = int_0^infty (f(x)+1) dx = int_0^infty 2/(1+x^2) dx =$
$=2 arctg(x)_0^infty = 2 pi/2 = pi$
...and we have done
tutto chiaro?
ciao
non mi è chiaro per quale motivo bisogna sottrarre 1 all' interno dell integrale. È una proprietà particolare degli integrali?
Fai il disegno
ti trovi che la tua funzione è positiva tra 0 e 1, negativa tra 1 e infinito
se calcoli l'integrale della tua funzione avrai un valore positivo per l'area nell'intervallo $(0;1)$ e un valore negativo nell'intervallo $(1;+oo)$ si tratterebbe della parte di piano compresa tra la tua funzione e l'asse delle x e abbiamo visto che quell'area lì va a infinito. A noi però non interessa quell'area ma disegnando una mezzastriscia che parte dall'asse delle y dove ha come altezza il segmento di coordinate $O(0;0)$ e $A(0;-1)$ e va avanti all'infinito vediamo che ci interessa quello che resta una volta che a quella striscia abbiamo tolto l'area di cui parlavamo prima. Non so se è chiaro...
ti trovi che la tua funzione è positiva tra 0 e 1, negativa tra 1 e infinito
se calcoli l'integrale della tua funzione avrai un valore positivo per l'area nell'intervallo $(0;1)$ e un valore negativo nell'intervallo $(1;+oo)$ si tratterebbe della parte di piano compresa tra la tua funzione e l'asse delle x e abbiamo visto che quell'area lì va a infinito. A noi però non interessa quell'area ma disegnando una mezzastriscia che parte dall'asse delle y dove ha come altezza il segmento di coordinate $O(0;0)$ e $A(0;-1)$ e va avanti all'infinito vediamo che ci interessa quello che resta una volta che a quella striscia abbiamo tolto l'area di cui parlavamo prima. Non so se è chiaro...
Guarda, ti allego immagine della tua funzione... è abbastanza ovvio guardandola
Se tu devi avere la area compresa tra la funzione e l'asse x allora integri tra 0 e 1 la tua funzione e basta
Se tu devi avere la area compresa tra la funzione e la retta per esempio y=-6 allora integri f(x)-(-6)
Cioè quello che integri per avere la area è la DIFFERENZA fra le due funzioni, la prima è y=f(x), la seconda è y=-1 nel tuo caso... se ci pensi che l'integrale rappresenta l'area lo comprendi subito... in pratica devi integrare una differenza di funzioni, è una cosa che si fa spesso quando hai due funzioni e devi trovare l'area compresa tra esse
Per farti un esempio banale, se devi trovare l'area compresa tra la funzione $y=x^2$ e la funzione $y=x$ tra 0 e 4 il tuo integrale sarà
$int_0^4 (x^2-x)dx$
è più chiaro ora?
Se tu devi avere la area compresa tra la funzione e l'asse x allora integri tra 0 e 1 la tua funzione e basta
Se tu devi avere la area compresa tra la funzione e la retta per esempio y=-6 allora integri f(x)-(-6)
Cioè quello che integri per avere la area è la DIFFERENZA fra le due funzioni, la prima è y=f(x), la seconda è y=-1 nel tuo caso... se ci pensi che l'integrale rappresenta l'area lo comprendi subito... in pratica devi integrare una differenza di funzioni, è una cosa che si fa spesso quando hai due funzioni e devi trovare l'area compresa tra esse
Per farti un esempio banale, se devi trovare l'area compresa tra la funzione $y=x^2$ e la funzione $y=x$ tra 0 e 4 il tuo integrale sarà
$int_0^4 (x^2-x)dx$
è più chiaro ora?
ma è un esercizio del liceo?
Si adesso è più chiaro grazie mille.
Comunque si è un esercizio del liceo. Appartiene alla sezione "verso l'esame di stato"
Comunque si è un esercizio del liceo. Appartiene alla sezione "verso l'esame di stato"
A livello di esercizio, sapresti per esempio calcolare l'area compresa tra la tua funzione e la retta $y=1/2$?
Se ho ben capito dovrei calcolare l'integrale da 0 a infinito di f(x) - 1/2.
Di solito un esercizio cosi io lo risolvo mettendo a sistema la retta y=1/2 con la f(x) per cercare la x. Fatto ciò calcolo l integrale da 0 a x e sottraggo dalla area appena cercata l area del rettangolo Che ha per altezza 0.5 e base x.
È stata l'assenza di un punto di intersezione tra la funzione e la retta assegnata a disorientarmi nella risoluzione dell esercizio precedente
Di solito un esercizio cosi io lo risolvo mettendo a sistema la retta y=1/2 con la f(x) per cercare la x. Fatto ciò calcolo l integrale da 0 a x e sottraggo dalla area appena cercata l area del rettangolo Che ha per altezza 0.5 e base x.
È stata l'assenza di un punto di intersezione tra la funzione e la retta assegnata a disorientarmi nella risoluzione dell esercizio precedente
Molto semplicemente devi fare
$int_(-sqrt(3)/3)^(+sqrt(3)/3) ((1-x^2)/(1+x^2) -1/2) dx$
facendo il sistema che dici tu ho trovato le intersezioni della retta $y=1/2$ con la funzione e sono i punti $x=+-sqrt(3)/3$ e ora l'area non è altro che l'integrale tra quei due valori della tua funzione MENO 1/2, è una specie di "cappuccio"
$int_(-sqrt(3)/3)^(+sqrt(3)/3) ((1-x^2)/(1+x^2) -1/2) dx$
facendo il sistema che dici tu ho trovato le intersezioni della retta $y=1/2$ con la funzione e sono i punti $x=+-sqrt(3)/3$ e ora l'area non è altro che l'integrale tra quei due valori della tua funzione MENO 1/2, è una specie di "cappuccio"
Dunque in linea generale devo sempre calcolare le intersezioni. Solo allora calcolo l integrale di f(x) meno g(x) nell intervallo prima trovato. Cosi ottengo l area cercata. Giusto?
yes! perfetto!!
Grazie mille.
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