Problema su "il lavoro di una forza"

[frida74]

Un secchio contenente del cemento viene issato al quinto piano di un palazzo da una fune che passa attorno a una carrucola .La tensione della fune è costante per 10 m ,poi aumenta linearmente nei successivi 6 m fino a raggiungere il valore di 70 N.Il lavoro totale è compiuto dalla fune è 860 j.
Calcola il valore della tensione della fune nei primi 10 m.

[mc2]

Questo post sarebbe piu` appropriato nella sezione "Fisica".

Comunque ecco la soluzione.

Definisco:

[math]d_1=10~m[/math]

(primi 10 m di salita)

[math]T_1[/math]

tensione costante durante i primi 10 m (incognita)

[math]d_2=6~m[/math]

(ultimi 6 m di salita)

[math]T(x)=T_1+\tau x[/math]

tensione linearmente crescente negli ultimi 6 metri. La tensione finale (quando

[math]x=d_2[/math]

) deve essere

[math]T_2=70~N[/math]

quindi la costante

[math]\tau[/math]

vale:

[math]T_2=T_1+\tau d_2[/math]

cioe`

[math]\tau=\frac{T_2-T_1}{d_2}[/math]

Il lavoro si calcola integrando :

[math]L=\int T\cdot dx[/math]

Durante i primi metri T e` costante:

[math]L_1= T_1 d_1[/math]

Durante gli ultimi metri T e` variabile:

[math]L_2=\int_0^{d_2} T(x) dx=
\int_0^{d_2} (T_1+\tau x)dx = T_1 d_2+\frac{1}{2}\tau d_2^2
[/math]

Il lavoro totale e`

[math]L=L_1+L_2= T_1 d_1+T_1 d_2+\frac{1}{2}\tau d_2^2=
T_1 d_1+T_1 d_2+\frac{1}{2}\frac{T_2-T_1}{d_2}d_2^2
[/math]

[math]L=\frac{1}{2}T_2d_2+\frac{1}{2}(2d_1+d_2)T_1[/math]

[math]2L=T_2d_2+(2d_1+d_2)T_1[/math]

L e` noto e vale 860 J, quindi si puo` ricavare

[math]T_1[/math]

[math]T_1=\frac{2L-T_2d_2}{2d_1+d_2}[/math]

Basta che sostituisci i numeri e fai i calcoli.

Aggiunto 1 giorno più tardi:

Un altro modo per calcolare il lavoro e` calcolare l'area in giallo nella figura allegata. Si tratta di un rettangolo e di un trapezio.

Vedrai che il risultato e` identico