Problema secondo grado

[anna19388]

un problema di secondo grado
in un triangolo rettangolo un cateto è lungo 9cm in meno dell'ipotenusa e l'altro cateto e 3/4 del primo.
determinare l'area!grazieeee

[BIT5]

Posta l'ipotenusa x, il cateto sara' x-9 e l'altro 3/4(x-9)

Dal momento che vale la relazione di Pitagora dovra' essere

[math] x^2= (x-9)^2+ \( \frac34(x-9) \)^2 [/math]

E quindi

[math] x^2= (x-9)^2+ \( \frac34 \)^2(x-9)^2 [/math]

Raccogliendo per comodita' (x-9)^2 avremo

[math] x^2= (x-9)^2 \( 1+ \frac{9}{16} \) [/math]

ovvero

[math] x^2= (x-9)^2 \( \frac{25}{16} \) [/math]

Esegui il quadrato del binomio

[math] x^2=(x^2-18x+81) \( \frac{25}{16} \) [/math]

moltiplichi ambo i membri per 16 ed esegui la moltiplicazione per 25 (il 16 a denominatore a destra si semplifica)

[math] 16x^2=25x^2-450x+2025 \to 9x^2-450x+2025=0 [/math]

Che, usando la ridotta, ha soluzioni per

[math] x= \frac{225 \pm \sqrt{225^2-9(2025)}}{9} = \frac{225 \pm \sqrt{32400}}{9} = \frac{225 \pm 180}{9} [/math]

Ovvero

[math] x_1= 45 \\ \\ x_2 = 5 [/math]

entrambe soluzioni positive (siamo in geometria e pertanto devono essere positive)

Pertanto con il primo valore avremo:

ipotenusa = 45
cateto1=45-9=36
cateto2=3/4 di 36 = 27

Con il secondo valore

ipotenusa: 5
cateto1=5-9=-4

e ci fermiamo perche' un cateto non potra' mai essere negativo.

Pertanto l'unica terna accettabile e' la prima