Problema salvadanaio....

[LauraZ1]

Ciao, ho un piccolo problema matematico da proporvi, semplice, ma che non rieco a risolvere...

All'apertura del salvadanaio ci sono 184 monete rispettivamente da 0,20 , 0,50 , 1€ per un totale di 100,90€.
Qual'è il numero di monete per ciascun valore?

SOLUZIONE:

67 da 1€
35 da 0.50€
82 da 0.20€

Conosco la soluzione, ma vorrei capire il procedimento...

Grazie a tutti quelli che risponderanno!

[fields1]

Innanzitutto la soluzione al tuo problema non è unica. Infatti puoi prendere la seguente soluzione

79 da 1€
3 da 0.50€
102 da 0.20€

Comunque per risolvere il problema puoi procedere così. Poni x il numero di monete da 0.20, y il numero di monete da 0.50, z il numero di monete da 1.
Avrai l'equazioni x+y+z=184 e 0.20x+0.50y+z=100.9. Moltiplichi la seconda equazione per 10 da entrambe le parti e quindi essa si trasforma 2x+5y+10z=1009. A questo punto ti ricavi z=184-x-z. Se poi sostituisci nell'altra equazione, ti rimane un equazione di variabili x e y. Ci sono tante coppie di valori che soddisferanno questa equazione e tu ne scegli un paio, sostanzialmente cercandoli a mano, perché il procedimento per trovarli (che esiste) è troppo lungo da spiegare.

[_nicola de rosa]

Se non erro con i dati che hai, hai due equazioni in tre incognite per cui la soluzione presente, a meno di una qualche altra ipotesi, non è unica. Ecco le due equazioni:
Sia x= numero di 0.20€
y=numero di 0.50€
z=numero di 1€
Le equazioni sono
1)x+y+z=184
2)0.2*x+0.5y+z=100.90
Sottraendo alla prima la seconda si hanno tali due equazioni:
z=184-x-y
0.8x+0.5y=83.1 cioè 8x+5y=831 da cui
Esprimendo in funzione di x si trova
x=x
y=(831-8x)/5
z=(3x+89)/5
Ad esempio prendiamo una x tale che y e z siano anch'essi interi.
Un esempio è
x=7,y=155,z=22
La somma è 184, e in euro si ha:
22€+155*0.5€+7*0.20€=22€+77.5€+1.40€=100.90€
In particolare si dice che il tuo problema ha oo^1 (infinito alla 1 ) soluzioni (le soluzioni non sono infinite, nella fretta ho detto una cretinata, leggi post successivi)

[laura.todisco]

però i 3 numeri devono essere naturali e non reali; forse con questa limitazione le soluzioni non sono $oo^1$, o mi sbaglio?

[_nicola de rosa]

"laura.todisco":però i 3 numeri devono essere naturali e non reali; forse con questa limitazione le soluzioni non sono $oo^1$, o mi sbaglio?

E' vero, giusto, ho fatto un abuso di notazione. Ma le triple di valori sono in numero limitato o no?
Con la soluzione che ho dato io bisognerebbe imporre che in aritmetica modulo 5 (831-8x) e (3x+89) dovrebbero dare resto nullo, cioè devono essere multipli interi di 5. Questo potrebbe dirci le soluzioni da trovare anche se sul numero ....sono infinite o no?

[laura.todisco]

Tu hai voglia di cercarle? Io confesso che sto sudando e inoltre tra 5 minuti inizia un film che vorrei vedere... .
Se non te la senti, magari ci provo domani. Notte notteeeeeeeeee

[laura.todisco]

Secondo me sono in numero finito, ma è solo una prima impressione "a naso". Poi ci penserò, domani... è un altro giorno .

[_nicola de rosa]

Parto dalle mie soluzioni
x=x
y=(831-8x)/5
z=(3x+89)/5

Le soluzioni accettabili , cioè quelle che danno triple intere positive, le si hanno a partire da x=2 incrementando di 5, cioè
x=2,7,12,17,22,27,32,37,42,47,52,57,62,67,72,77,82,87,92,97,102 e le y e z conseguenti.
Per x>102 con passo 5 abbiamo 107 ma ciò comporta valori delle triple insensati cioè interi negativi. Per cui le soluzioni sono in numero finito e mi rimangio le oo^1 soluzioni.
In particolare le soluzioni possibili sono 21 ( altro che infinite, la fretta è cattiva consigliera, CHIEDO VENIA).

[Sk_Anonymous]

Si poteva giungere al risultato sul numero delle soluzioni applicando le regole
viste nel post di fields "numeri naturali".
In questo caso l'equazione e' 8x+5y=831.
Essendo a*b=8*5=40l'equazione ammette soluzioni intere positive.
Poiche' 831=20*40+31 si ha q=20,r=31 e quindi le soluzioni sono almeno in
numero di 20 e al piu' di 20+1=21.Per decidere risolviamo
la cosiddetta equazione satellite ax+by=r --->8x+5y=31 la quale ammette
la soluzione (positiva) x=2,y=3 e questo ci permette di dire che le soluzioni
dell'equazione di partenza sono in numero di 20+1=21.
karl

[laura.todisco]

Karl, ma tu sei un mostro, mi fai paura ahahahahahaahah.
Per curiosità, MA CHE STUDI HAI FATTO????????

[Sk_Anonymous]

@Laura
Diciamo che sono un "mostro" normale.
A parte gli scherzi ho frequentato il liceo classico , ho una laurea
in Matematica (indirizzo didattico) e attualmente sono insegnante
a tempo indeterminato ( di ruolo,si diceva una volta) in un liceo
scientifico del Lazio.
A risentirci sul Forum per altre "mostruosita' .
karl

[Bruno13]

"karl":@Laura
Diciamo che sono un "mostro" normale.
A parte gli scherzi ho frequentato il liceo classico , ho una laurea
in Matematica (indirizzo didattico) e attualmente sono insegnante
a tempo indeterminato ( di ruolo,si diceva una volta) in un liceo
scientifico del Lazio.
A risentirci sul Forum per altre "mostruosita' .
karl

...comunque si vede che insegni, Karl, e che sai dire le cose in
maniera spesso molto interessante (almeno per me).
Trovo sempre istruttivo leggerti.
In questo forum, per fortuna, sei anche in ottima compagnia

[laura.todisco]

Bravissimo anche Nicasamarciano! Io ieri sera poi ho chiuso e mi sono vista "Bounce" con Gwinneth Paltrow.

[laura.todisco]

"karl":@Laura
Diciamo che sono un "mostro" normale.
A parte gli scherzi ho frequentato il liceo classico , ho una laurea
in Matematica (indirizzo didattico) e attualmente sono insegnante
a tempo indeterminato ( di ruolo,si diceva una volta) in un liceo
scientifico del Lazio.
A risentirci sul Forum per altre "mostruosita' .
karl

Io invece diploma magistrale, laurea in matematica 1991 indirizzo didattico anche io e di ruolo da 1 anno.
Ti ricordi che esami hai fatto? Vediamo se mi ricordo i miei:

algebra - algebra superiore - istituzioni di algebra superiore - matematiche complementari 1 -
geometria 1 - geometria 2 - geometria superiore - matematiche complementari 2 -
analisi 1 - analisi 2 - analisi funzionale -
fisica 1 - fisica 2 - meccanica razionale - storia della fisica

ME LI SONO RICORDATIIIIIIIIIIIIIIIIII

Ti capita mai di sognare che ti mancano ancora 4 esami?
A me capitava spessissimo fino a 1 anno fa; mi sa che da quando sono di ruolo ho smesso di sognarlo

[laura.todisco]

"karl":Si poteva giungere al risultato sul numero delle soluzioni applicando le regole
viste nel post di fields "numeri naturali".
In questo caso l'equazione e' 8x+5y=831.
Essendo a*b=8*5=40l'equazione ammette soluzioni intere positive.
Poiche' 831=20*40+31 si ha q=20,r=31 e quindi le soluzioni sono almeno in
numero di 20 e al piu' di 20+1=21.Per decidere risolviamo
la cosiddetta equazione satellite ax+by=r --->8x+5y=31 la quale ammette
la soluzione (positiva) x=2,y=3 e questo ci permette di dire che le soluzioni
dell'equazione di partenza sono in numero di 20+1=21.
karl

Bellissimo questo metodo!

[fields1]

Bravo Karl che ha notato il collegamento con l'altro mio post: che coincidenza, eh! Comunque ora ho scritto anche la formula diretta per trovare le soluzioni.

[Sk_Anonymous]

I miei esami sono + o - gli stessi di Laura con una spruzzatina
di elettronica,analisi superiore,storia delle matematiche,
fisica quantistica relativistica e non,geometria differenziale e perfino
di Astronomia ed di qualche altro che non ricordo.Ho seguito anche un corso
di Calcolo Assoluto (volgarmente chiamato calcolo tensoriale)
ma l'ho poi abbandonato :troppi indici sopra e sotto !!
Va da se' che di tutti questi esami ho ormai vaghe sensazioni ,benche'
non mi dispiaccia di dargli qualche occhiatina di tanto in tanto.
Se mi capita di sognare che mi mancano solo 4 esami?
Mi sembra normale:quando ti mancano pochi esami sogni la
laurea dalla sera alla mattina e viceversa.
D'altra parte ,parafrasando Shakespeare, e' il sogno la vera
(e forse l'unica) realta' della vita...
Buon appetito a tutti.
karl

[_nicola de rosa]

"laura.todisco":Bravissimo anche Nicasamarciano! Io ieri sera poi ho chiuso e mi sono vista "Bounce" con Gwinneth Paltrow.

Grazie.
Io sono da poco laureato in ingegneria delle telecomunicazioni (laurea triennale+specialistica) ma da sempre con la passione per la matematica. Per tale motivo trovo interessanti ed istruttivi gli interventi di voi docenti, li accolgo con enorme piacere. E' un modo per compensare le mie lacune.

A presto