Problema risolvibile con sistema di I grado

[mirea01]

Il testo riporta che: "Due numeri differiscono di 14. Se si divide per 5 la differenza tra i $ 3/4 $ del maggiore con i $ 2/3 $ del minore si ottiene quoziente 2 e resto 3".

Imponendo che x rappresenti il numero maggiore e y il minore dovrei avere che

x - y = 14

$ 1/5 (3/4x -2/3y) = ??? $ Posto che siano corretti i passaggi precedenti, vi chiedo a questo punto come risulti in linguaggio matematico: "[...] si ottiene quoziente 2 e resto 3".

[gugo82]

Dialogo minimo su alcuni fatti di Aritmetica delle elementari...

- Quali sono due numeri la cui divisione intera (cioè senza virgola) dà come quoziente $2$ e resto $3$?
- Ad esempio, $17$ e $7$.

- E cosa significa che $17 : 7$ dà quoziente $2$ e resto $3$?
- E chi se lo ricorda!

- Pensaci bene: conoscendo quoziente ($2$), resto ($3$) e divisore ($7$), puoi ricostruire il dividendo ($17$)?
- Beh, sì: infatti $17 = 2*7+3$, cioè il dividendo è uguale alla somma del prodotto di quoziente e divisore col resto.

- Bravo. Quindi in generale cosa significa che $D:d$ dà quoziente $2$ e resto $3$?
- Significa che $D = 2*d + 3$.

- E basta?
- Mmmm, così pare...

- Beh, pensaci bene un momento... La divisione per $2$ può dare resto $3$? E la divisione per $3$? E quella per $4$?
- Allora... La divisione per $2$ no, perché dà come resti solo $0$ ed $1$. La divisione per $3$ nemmeno, perché gli unici resti prodotti sono $0$, $1$ e $2$... Ma la divisione per $4$ sì, dà $3$ come uno dei resti possibili.

- E basta? La divisione per numeri più grandi?
- Dà sempre un $3$ come possibile resto... Quindi posso dire che tutto dipende dal divisore?

- Dipende da come lo dici. Vediamo...
- A quanto ho capito, se il divisore $d$ è maggiore di $3$, allora $3$ è un possibile resto della divisione $D : d$; altrimenti no.

- Bravo. Questo è proprio l'altra condizione che stavamo cercando... Dire che $D:d$ ha quoziente $2$ e resto $3$ significa affermare due cose:

[list=1][*:317cwh6u] che c'è una formula che consente di ricostruire $D$ usando $2$, $3$ e $d$, cioè:

$D = 2*d + 3$

[/*:m:317cwh6u]
[*:317cwh6u] e che il divisore $d$ è maggiore di $3$, ossia:

$d > 3$.

[/*:m:317cwh6u][/list:o:317cwh6u]

Questa è una maniera dialogata per esprimere il seguente Teorema della Divisione Intera:

Per ogni coppia di numeri $D, d in NN$, con $d != 0$, esistono e sono univocamente determinati due altri numeri $q, r in NN$ tali che:

[list=1][*:317cwh6u] $D = q*d+r$

[/*:m:317cwh6u]
[*:317cwh6u] $r < d$.[/*:m:317cwh6u][/list:o:317cwh6u]

I numeri $q$ ed $r$ si chiamano, rispettivamente, quoziente e resto della divisione di $D$ per $d$.