Problema risoluzione disequazione con logaritmi
Ciao a tutti, ho un problema con la risoluzione di questa disequazione:
è un sistema tra due disequazioni:
$2^x>7/((3^(2x+1))$
$((1/sqrt2)^(x−4))≥3^(x+1)$
non riesco mai a ricordarmi come si risolvono le esponenziali con basi non imparentate.
Devo applicare i logaritmi ma poi non riesco a capire come semplificare il tutto.
Grazie mille a chi vorrà rispondermi
è un sistema tra due disequazioni:
$2^x>7/((3^(2x+1))$
$((1/sqrt2)^(x−4))≥3^(x+1)$
non riesco mai a ricordarmi come si risolvono le esponenziali con basi non imparentate.
Devo applicare i logaritmi ma poi non riesco a capire come semplificare il tutto.
Grazie mille a chi vorrà rispondermi
Risposte
Per questo esercizio ci sono diverse strade che portano a soluzioni all'apparenza diverse, ma danno lo stesso risultato.
Possiamo sfruttare il logaritmo in base 2, in base 3 o il logaritmo naturale, se il problema è di tipo tecnico anche il logaritmo in base 10.
Io opterei per il logaritmo naturale
Intanto diamo una sistematina, le potenze di numeri positivi sono sempre positive, quindi si possono eliminare i denominatori anche se siamo nelle disequazioni.
$ 2^x>7/((3^(2x+1)) $ diventa $ 2^x*3^(2x+1)>7 $ passando tutto al logaritmo naturale si ottiene $ ln(2^x*3^(2x+1))>ln7 $ cioè $ xln2+2xln3+ln3>ln7 $ da cui $xln18>ln7-ln3$ e quindi $x>(ln7-ln3)/ln18$
$ ((1/sqrt2)^(x−4))≥3^(x+1) $ diventa $1>=(sqrt2)^(x-4)*3^(x+1)$ anche qui passando al logaritmo naturale si ottiene dopo qualche calcolo $(3*sqrt2)^x<=4/3$ da cui $x<= (ln4-ln3)/(ln3+lnsqrt2)$
Fai due conti con la calcolatrice, ma mi pare che sia impossibile.
Possiamo sfruttare il logaritmo in base 2, in base 3 o il logaritmo naturale, se il problema è di tipo tecnico anche il logaritmo in base 10.
Io opterei per il logaritmo naturale
Intanto diamo una sistematina, le potenze di numeri positivi sono sempre positive, quindi si possono eliminare i denominatori anche se siamo nelle disequazioni.
$ 2^x>7/((3^(2x+1)) $ diventa $ 2^x*3^(2x+1)>7 $ passando tutto al logaritmo naturale si ottiene $ ln(2^x*3^(2x+1))>ln7 $ cioè $ xln2+2xln3+ln3>ln7 $ da cui $xln18>ln7-ln3$ e quindi $x>(ln7-ln3)/ln18$
$ ((1/sqrt2)^(x−4))≥3^(x+1) $ diventa $1>=(sqrt2)^(x-4)*3^(x+1)$ anche qui passando al logaritmo naturale si ottiene dopo qualche calcolo $(3*sqrt2)^x<=4/3$ da cui $x<= (ln4-ln3)/(ln3+lnsqrt2)$
Fai due conti con la calcolatrice, ma mi pare che sia impossibile.
eh...scusa @melia ma in che senso se abbiamo un problema di tipo tecnico uso il log??
ho sempre usato indifferentemente ln e log ma sinceramente e ignorantemente non ne ho mai capito la differenza a parte quella. Mi serve quando faccio il cambiamento di base giusto?
ho provato a rifarlo e sono arrivato ad avere nella seconda:
$x<= (4-2log_2(3))/(2log_2(3) + 1)$
poi mi ero incartato e non sapevo più come continuare
ho sempre usato indifferentemente ln e log ma sinceramente e ignorantemente non ne ho mai capito la differenza a parte quella. Mi serve quando faccio il cambiamento di base giusto?
ho provato a rifarlo e sono arrivato ad avere nella seconda:
$x<= (4-2log_2(3))/(2log_2(3) + 1)$
poi mi ero incartato e non sapevo più come continuare
Ho premesso “spesso risultati scritti in modo completamente diverso, sono lo stesso risultato”, e, come volevasi dimostrare, siamo arrivati allo stesso risultato, scritto in due modi distinti.
ho provato a rifarlo da capo. mi sorgono un paio di domande:
nel caso in cui optassi per scrivere il $3^(x+1)$ come $2^(log_2(3)^(x+1)$
poi la disequazione sarebbe:
$2^(-1/2(x-4)) >= 2^(log_2(3)^(x+1)$
poi dopo invece di eliminare la base $2$ al secondo membro con $log_2$ elimino entrambe le basi $2$
e mi rimane:
$-1/2(x-4) >=log_2(3)^(x+1)$
la mia domanda è la seguente:
visto che ho elevato il secondo membro a $2^(log_2)$, dovevo farlo anche con il primo membro?
cioè avere $2^(log_2(2^(-1/2(x-4)))$, oppure elevare con il logaritmo è solo un modo diverso di riscrivere $3^(x+1)$ sotto un altra forma?
grazie
nel caso in cui optassi per scrivere il $3^(x+1)$ come $2^(log_2(3)^(x+1)$
poi la disequazione sarebbe:
$2^(-1/2(x-4)) >= 2^(log_2(3)^(x+1)$
poi dopo invece di eliminare la base $2$ al secondo membro con $log_2$ elimino entrambe le basi $2$
e mi rimane:
$-1/2(x-4) >=log_2(3)^(x+1)$
la mia domanda è la seguente:
visto che ho elevato il secondo membro a $2^(log_2)$, dovevo farlo anche con il primo membro?
cioè avere $2^(log_2(2^(-1/2(x-4)))$, oppure elevare con il logaritmo è solo un modo diverso di riscrivere $3^(x+1)$ sotto un altra forma?
grazie
È un modo diverso di scrivere $3^(x+1)$
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