Problema Pitagora
I due cerchi rappresentati in figura, di centri $ O $ e $ O' $ , hanno entrambi raggio uguale a $ r $ , sono tangenti esternamente tra loro e sono ulteriormente tangenti alla retta $ t $ . Il quadrato $ ABCD $ ha il lato $ AB $ sulla retta $ t $ e gli altri due vertici, $ C $ e $ D $ , che appartengono rispettivamente alle circonferenze che delimitano i due cerchi di centri $ O $ e $ O' $ . Qual'è la misura del lato del quadrato $ ABCD $ ?
Svolgimento: chiamo $ S $ il punto di tangenza tra le due circonferenze . Considero il trapezio $ CDOO' $, questi è isoscele sulla base $ OO' $ quindi gli angoli alla base sono uguali, visto che, ad angoli al centro congruenti, corrispondono corde congruenti, $ DS~= CS $ . Considero il triangolo isoscele $ DCS $ e traccio la sua altezza $ SH $, questa è anche mediana di $ CD $ e quindi divide il lato del quadrato in due parti uguali. Traccio la proiezione di $ H $ su $ AB $. Chiamo $ K $ il punto di tangenza della retta $ t $ rispetto alla circonferenza di centro $ O' $; valuto il triangolo rettangolo $ KO'A $, i cui cateti sono $ AK ~= r+1/2x $ (dove $ x $ è il lato del quadrato) e $ O'K ~=r $ , con $ O'A~= sqrt(2)x+r $ . Applico Pitagora e non arrivo a soluzione.
Svolgimento: chiamo $ S $ il punto di tangenza tra le due circonferenze . Considero il trapezio $ CDOO' $, questi è isoscele sulla base $ OO' $ quindi gli angoli alla base sono uguali, visto che, ad angoli al centro congruenti, corrispondono corde congruenti, $ DS~= CS $ . Considero il triangolo isoscele $ DCS $ e traccio la sua altezza $ SH $, questa è anche mediana di $ CD $ e quindi divide il lato del quadrato in due parti uguali. Traccio la proiezione di $ H $ su $ AB $. Chiamo $ K $ il punto di tangenza della retta $ t $ rispetto alla circonferenza di centro $ O' $; valuto il triangolo rettangolo $ KO'A $, i cui cateti sono $ AK ~= r+1/2x $ (dove $ x $ è il lato del quadrato) e $ O'K ~=r $ , con $ O'A~= sqrt(2)x+r $ . Applico Pitagora e non arrivo a soluzione.
Risposte
Non so se è la via migliore ma la prima cosa che mi viene in mente è:
$(r-l)^2+(r-\frac{l}{2})^2=r^2$ dove $l$ è il lato del quadrato.
$(r-l)^2+(r-\frac{l}{2})^2=r^2$ dove $l$ è il lato del quadrato.
Conviene sfruttare la simmetria della figura.
Come scrive ghira torna; avevo provato a considerare altri due diversi triangoli rettangoli o cercato di trovare l'area del quadrato , ma la soluzione non combaciava. Grazie.
Ciao a tutti!
E' da un po' che manco dal forum e mi scuso se mi intrometto in un topic già risolto qualche giorno fa. Ovviamente nulla da dire sulla soluzione proposta da @ghira (che saluto). Volevo solo dire @zaser123 che il suo metodo non funziona in quanto, se non erro (e sono pronto ad essere smentito da persone ben più in gamba di me), l'ipotenusa $O'A$ del triangolo considerato non ha quella misura, poiché i punti $A$, $C$ e $O'$ non sono allineati. Dato che è un errore in cui molti cadono, volevo solo suggerire @zaser123 di fare attenzione e non fidarsi mai di un'apparente simmetria/allineamento dovuto alla particolare figura in questione, ma affidarsi alle proprietà della geometria: se esiste una qualche proprietà che permette di stabilire l'allineamento di quei 3 punti, allora bene, altrimenti non si può essere sicuri che siano allineati solo perché lo sembrano dalla figura.
Scusate ancora per l'intromissione e, come sempre,
saluti
E' da un po' che manco dal forum e mi scuso se mi intrometto in un topic già risolto qualche giorno fa. Ovviamente nulla da dire sulla soluzione proposta da @ghira (che saluto). Volevo solo dire @zaser123 che il suo metodo non funziona in quanto, se non erro (e sono pronto ad essere smentito da persone ben più in gamba di me), l'ipotenusa $O'A$ del triangolo considerato non ha quella misura, poiché i punti $A$, $C$ e $O'$ non sono allineati. Dato che è un errore in cui molti cadono, volevo solo suggerire @zaser123 di fare attenzione e non fidarsi mai di un'apparente simmetria/allineamento dovuto alla particolare figura in questione, ma affidarsi alle proprietà della geometria: se esiste una qualche proprietà che permette di stabilire l'allineamento di quei 3 punti, allora bene, altrimenti non si può essere sicuri che siano allineati solo perché lo sembrano dalla figura.
Scusate ancora per l'intromissione e, come sempre,
saluti
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