Problema nel trovare una funzione
Ciao a tutti, stavo provando a risolvere questo esercizio (molto simile ad un altro che avevo già postato).
Volevo chiedervi un vostro parere sul mio metodo risolutivo e, eventualmente, dirmi se è corretto o meno. (purtroppo non ho una soluzione per questo motivo chiedo a voi).
La funzione $x(t)$ è legata a quella $a(t)$ da: $x''(t)=a(t)$ sapendo che il grafico di $a(t)$ è:
tracciare quello di $x(t)$ dati $x(0)=0$ e $x'(0)=0$.
integrando 2 volte $a(t)$ dovrei riuscire a trovare $x(t)$. giusto? inizio subito calcolando $x(t) |$ $ 0<=t<=6$
$x'(t)=int 2/3tdt=1/3t^2+C$
per la condizione $x'(0)=0$ posso calcolare $C$
quindi:
$x'(0)=[1]/[3]0^2+C=0=>C=0$
saputo che $C=0$ derivo ancora una volta per trovare $x(t)$
$x(t)=int1/3t^2dt=1/9t^3+C$
dove ancora una volta $C=0$ per condizione $x(0)=0$
quindi la funzione di $x(t)$ talche che $0<=t<=6$ è:
$x(t)=1/9t^3$
adesso procedo per trovare $x(t)$ tale che $6<=t<=8$
facendo lo stesso procedimento di prima, quindi integrando 2 volte e calcolando le $C$ arrivo a:
$x(t)=-1/3t^3+2t^2 | 6<=t<=8$
però lasciata cosi la funzione non va bene, perchè inizia all'istante $t=6$ e termina all'istante $t=8$ (ovvero mi rappresenta il moto del corpo a cominciare da $t=6$ fino a $t=8$) inoltre all'istante $t=6$ il corpo avrà gia (se $y$ è lo spazio percorso) percorso un po' di metri (che posso calcolare grazie a $x(6)$ con la funzione trovata precedentemente), ossia $24$ metri, perche $x(6)=24$
quindi posso scrivere questa nuova $x(t)$ appena torvata in questa maniera:
$x(t)=-1/3(t-6)^3+2(t-6)^2+24|6<=t<=8$
infine trovo $x(t) | 8<=t<=+oo$
ossia
$x(t)=Ct$
dove $C$ è la velocità all'istante $t=8$ che posso trovare grazie a $x'$ trovata prima che dovrebbe fare: $4$
perche $x'(2)=-(2)^2+4(2)=4$ dove $t=2$ in realta' sarebbe $t=8$ solo che non ho ancora aggiustato la funzione.
quindi ottengo
$x(t)=4(t-8)+88/3 | <=9t<=+oo$
il risultato finale è questo:
però sapete una cosa?
sono molto dubbioso per la $x(t)$ centrale, li non mi è saltata fuori una velocità il che è strano...
ma lascio a voi il parere
grazie
Volevo chiedervi un vostro parere sul mio metodo risolutivo e, eventualmente, dirmi se è corretto o meno. (purtroppo non ho una soluzione per questo motivo chiedo a voi).
La funzione $x(t)$ è legata a quella $a(t)$ da: $x''(t)=a(t)$ sapendo che il grafico di $a(t)$ è:
tracciare quello di $x(t)$ dati $x(0)=0$ e $x'(0)=0$.
integrando 2 volte $a(t)$ dovrei riuscire a trovare $x(t)$. giusto? inizio subito calcolando $x(t) |$ $ 0<=t<=6$
$x'(t)=int 2/3tdt=1/3t^2+C$
per la condizione $x'(0)=0$ posso calcolare $C$
quindi:
$x'(0)=[1]/[3]0^2+C=0=>C=0$
saputo che $C=0$ derivo ancora una volta per trovare $x(t)$
$x(t)=int1/3t^2dt=1/9t^3+C$
dove ancora una volta $C=0$ per condizione $x(0)=0$
quindi la funzione di $x(t)$ talche che $0<=t<=6$ è:
$x(t)=1/9t^3$
adesso procedo per trovare $x(t)$ tale che $6<=t<=8$
facendo lo stesso procedimento di prima, quindi integrando 2 volte e calcolando le $C$ arrivo a:
$x(t)=-1/3t^3+2t^2 | 6<=t<=8$
però lasciata cosi la funzione non va bene, perchè inizia all'istante $t=6$ e termina all'istante $t=8$ (ovvero mi rappresenta il moto del corpo a cominciare da $t=6$ fino a $t=8$) inoltre all'istante $t=6$ il corpo avrà gia (se $y$ è lo spazio percorso) percorso un po' di metri (che posso calcolare grazie a $x(6)$ con la funzione trovata precedentemente), ossia $24$ metri, perche $x(6)=24$
quindi posso scrivere questa nuova $x(t)$ appena torvata in questa maniera:
$x(t)=-1/3(t-6)^3+2(t-6)^2+24|6<=t<=8$
infine trovo $x(t) | 8<=t<=+oo$
ossia
$x(t)=Ct$
dove $C$ è la velocità all'istante $t=8$ che posso trovare grazie a $x'$ trovata prima che dovrebbe fare: $4$
perche $x'(2)=-(2)^2+4(2)=4$ dove $t=2$ in realta' sarebbe $t=8$ solo che non ho ancora aggiustato la funzione.
quindi ottengo
$x(t)=4(t-8)+88/3 | <=9t<=+oo$
il risultato finale è questo:
però sapete una cosa?
sono molto dubbioso per la $x(t)$ centrale, li non mi è saltata fuori una velocità il che è strano...
ma lascio a voi il parere
grazie
Risposte
ti seguo perfettamente ma di una cosa sono certo,
quando si arriva a $x'(t)$ che e' la velocita
e poi a $x(t)$
le loro costanti equivalgono al loro significato. quindi se $x'(t)$ e' la velocità la sua costante è la velocita
per $x(t)$ la sua costante e' lo spazio. avere uno spazio negativo fa strano..
quando si arriva a $x'(t)$ che e' la velocita
e poi a $x(t)$
le loro costanti equivalgono al loro significato. quindi se $x'(t)$ e' la velocità la sua costante è la velocita
per $x(t)$ la sua costante e' lo spazio. avere uno spazio negativo fa strano..
proseguo ...
quindi $C=-48$ e la funzione è $v(t)=-t^2+16t-48$
Integriamo ancora e otteniamo $x(t)=-t^3/3+8t^2-48t+C$ ok?
Questa funzione all'istante 6 deve valere 24 perchè in continuita col primo tratto, ok?
Quindi quando $t=6$ sarà $24=-216/3+8*36-48*6+C$ e quindi $C=96$
e la funzione finale sarà $x(t)=-t^3/3+8t^2-48t+96$
Ok?
quindi $C=-48$ e la funzione è $v(t)=-t^2+16t-48$
Integriamo ancora e otteniamo $x(t)=-t^3/3+8t^2-48t+C$ ok?
Questa funzione all'istante 6 deve valere 24 perchè in continuita col primo tratto, ok?
Quindi quando $t=6$ sarà $24=-216/3+8*36-48*6+C$ e quindi $C=96$
e la funzione finale sarà $x(t)=-t^3/3+8t^2-48t+96$
Ok?
"giogiomogio":
ti seguo perfettamente ma di una cosa sono certo,
quando si arriva a $x'(t)$ che e' la velocita
e poi a $x(t)$
le loro costanti equivalgono al loro significato. quindi se $x'(t)$ e' la velocità la sua costante è la velocita
per $x(t)$ la sua costante e' lo spazio. avere uno spazio negativo fa strano..
No, non è strano perchè quello è il valore che avrebbe $x$ all'istante $t=0$ cioè "andando indietro" (e cmq non ci interessa perchè questa funzione vale solo nel tratto da 6 a 8)
Se vuoi ti posto il grafico ...
volentieri grazie.
perche cmq anche a istante 6 sarebbe negativo
perche cmq anche a istante 6 sarebbe negativo
"giogiomogio":
volentieri grazie.
perche cmq anche a istante 6 sarebbe negativo
Ci provo ...
Questa è la versione "lunga" ... cioè oltre i limiti 0 - 8
è stato un piacere, però adesso ti saluto .. che vado a dormire
Cordialmente, Alex
grazie mille di tutto 
domani qualcuno speriamo ci dia conferma per l'esattezza
domani qualcuno speriamo ci dia conferma per l'esattezza
Vorrai dire oggi ... 
Buonanotte, Alex
Buonanotte, Alex
Confermo.
Dopo l'istante $8$ l'accelerazione diventerebbe negativa ed il corpo comincerebbe a frenare, fino a ridurre a zero la velocità nell'istante $12$. Dopo questo istante la velocità diventa negativa e lo spazio diminuisce.
Dopo l'istante $8$ l'accelerazione diventerebbe negativa ed il corpo comincerebbe a frenare, fino a ridurre a zero la velocità nell'istante $12$. Dopo questo istante la velocità diventa negativa e lo spazio diminuisce.
"giammaria":
Confermo.
Grazie.
grazie per il check giammaria, una sola cosa:
trovata $v(t)=-t^2+16t+C$ dove $C=-48$
la $C$ e quindi $-48$ cosa rappresenterebbe? una velocità giusto? ma perchè negativa?
trovata $v(t)=-t^2+16t+C$ dove $C=-48$
la $C$ e quindi $-48$ cosa rappresenterebbe? una velocità giusto? ma perchè negativa?
Matematicamente è il valore che la funzione assume quando $t=0$
In fisica è il valore della velocità all'istante $t=0$ se consideriamo un'accelerazione la funzione dalla quale l'abbiamo calcolata.
Il fatto che sia negativa piuttosto che no, significa solo che va in un verso piuttosto che l'altro.
Se riparti dal tuo grafico originale, e tieni presente che ci stiamo riferendo solo al pezzo di funzione nell'intervallo da $t=6$ a $t=8$, vedrai che l'accelerazione è una retta che all'istante $t=0$ vale $16$, quindi positiva, ma con pendenza $-2$, quindi in diminuzione; la curva della velocità riflette questo: dall'istante $t=0$ la velocità aumenta (diventa "meno" negativa, cioè "sta frenando") ma in modo sempre meno "ripido"; all'istante $t=4$ diventa positiva (cioè si è fermata e ha fatto inversione) per aumentare (sempre meno rapidamente) fino all'istante $t=8$ dove raggiunge il massimo; a quel punto diminuisce perchè l'accelerazione è diventata negativa ... e così via.
OK?
Cordialmente, Alex
P.S.: ma a Lugano che fuso orario avete?
P.P.S.: quando dico che facciamo riferimento solo al pezzo di grafico che va da $t=6$ a $t=8$, voglio significare he utilizzo SOLO quel pezzo di grafico per ricavare la funzione inziale (accelerazione) ma le "elecubrazioni" successive fanno riferimento a tutto l'asse $x$ (come se esistesse solo quella funzione insomma).
Non so se sono stato chiaro ma in un post per me è difficile ... sorry
In fisica è il valore della velocità all'istante $t=0$ se consideriamo un'accelerazione la funzione dalla quale l'abbiamo calcolata.
Il fatto che sia negativa piuttosto che no, significa solo che va in un verso piuttosto che l'altro.
Se riparti dal tuo grafico originale, e tieni presente che ci stiamo riferendo solo al pezzo di funzione nell'intervallo da $t=6$ a $t=8$, vedrai che l'accelerazione è una retta che all'istante $t=0$ vale $16$, quindi positiva, ma con pendenza $-2$, quindi in diminuzione; la curva della velocità riflette questo: dall'istante $t=0$ la velocità aumenta (diventa "meno" negativa, cioè "sta frenando") ma in modo sempre meno "ripido"; all'istante $t=4$ diventa positiva (cioè si è fermata e ha fatto inversione) per aumentare (sempre meno rapidamente) fino all'istante $t=8$ dove raggiunge il massimo; a quel punto diminuisce perchè l'accelerazione è diventata negativa ... e così via.
OK?
Cordialmente, Alex
P.S.: ma a Lugano che fuso orario avete?
P.P.S.: quando dico che facciamo riferimento solo al pezzo di grafico che va da $t=6$ a $t=8$, voglio significare he utilizzo SOLO quel pezzo di grafico per ricavare la funzione inziale (accelerazione) ma le "elecubrazioni" successive fanno riferimento a tutto l'asse $x$ (come se esistesse solo quella funzione insomma).
Non so se sono stato chiaro ma in un post per me è difficile ... sorry
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