Problema nel trovare una funzione
Ciao a tutti, stavo provando a risolvere questo esercizio (molto simile ad un altro che avevo già postato).
Volevo chiedervi un vostro parere sul mio metodo risolutivo e, eventualmente, dirmi se è corretto o meno. (purtroppo non ho una soluzione per questo motivo chiedo a voi).
La funzione $x(t)$ è legata a quella $a(t)$ da: $x''(t)=a(t)$ sapendo che il grafico di $a(t)$ è:
tracciare quello di $x(t)$ dati $x(0)=0$ e $x'(0)=0$.
integrando 2 volte $a(t)$ dovrei riuscire a trovare $x(t)$. giusto? inizio subito calcolando $x(t) |$ $ 0<=t<=6$
$x'(t)=int 2/3tdt=1/3t^2+C$
per la condizione $x'(0)=0$ posso calcolare $C$
quindi:
$x'(0)=[1]/[3]0^2+C=0=>C=0$
saputo che $C=0$ derivo ancora una volta per trovare $x(t)$
$x(t)=int1/3t^2dt=1/9t^3+C$
dove ancora una volta $C=0$ per condizione $x(0)=0$
quindi la funzione di $x(t)$ talche che $0<=t<=6$ è:
$x(t)=1/9t^3$
adesso procedo per trovare $x(t)$ tale che $6<=t<=8$
facendo lo stesso procedimento di prima, quindi integrando 2 volte e calcolando le $C$ arrivo a:
$x(t)=-1/3t^3+2t^2 | 6<=t<=8$
però lasciata cosi la funzione non va bene, perchè inizia all'istante $t=6$ e termina all'istante $t=8$ (ovvero mi rappresenta il moto del corpo a cominciare da $t=6$ fino a $t=8$) inoltre all'istante $t=6$ il corpo avrà gia (se $y$ è lo spazio percorso) percorso un po' di metri (che posso calcolare grazie a $x(6)$ con la funzione trovata precedentemente), ossia $24$ metri, perche $x(6)=24$
quindi posso scrivere questa nuova $x(t)$ appena torvata in questa maniera:
$x(t)=-1/3(t-6)^3+2(t-6)^2+24|6<=t<=8$
infine trovo $x(t) | 8<=t<=+oo$
ossia
$x(t)=Ct$
dove $C$ è la velocità all'istante $t=8$ che posso trovare grazie a $x'$ trovata prima che dovrebbe fare: $4$
perche $x'(2)=-(2)^2+4(2)=4$ dove $t=2$ in realta' sarebbe $t=8$ solo che non ho ancora aggiustato la funzione.
quindi ottengo
$x(t)=4(t-8)+88/3 | <=9t<=+oo$
il risultato finale è questo:
però sapete una cosa?
sono molto dubbioso per la $x(t)$ centrale, li non mi è saltata fuori una velocità il che è strano...
ma lascio a voi il parere
grazie
Volevo chiedervi un vostro parere sul mio metodo risolutivo e, eventualmente, dirmi se è corretto o meno. (purtroppo non ho una soluzione per questo motivo chiedo a voi).
La funzione $x(t)$ è legata a quella $a(t)$ da: $x''(t)=a(t)$ sapendo che il grafico di $a(t)$ è:
tracciare quello di $x(t)$ dati $x(0)=0$ e $x'(0)=0$.
integrando 2 volte $a(t)$ dovrei riuscire a trovare $x(t)$. giusto? inizio subito calcolando $x(t) |$ $ 0<=t<=6$
$x'(t)=int 2/3tdt=1/3t^2+C$
per la condizione $x'(0)=0$ posso calcolare $C$
quindi:
$x'(0)=[1]/[3]0^2+C=0=>C=0$
saputo che $C=0$ derivo ancora una volta per trovare $x(t)$
$x(t)=int1/3t^2dt=1/9t^3+C$
dove ancora una volta $C=0$ per condizione $x(0)=0$
quindi la funzione di $x(t)$ talche che $0<=t<=6$ è:
$x(t)=1/9t^3$
adesso procedo per trovare $x(t)$ tale che $6<=t<=8$
facendo lo stesso procedimento di prima, quindi integrando 2 volte e calcolando le $C$ arrivo a:
$x(t)=-1/3t^3+2t^2 | 6<=t<=8$
però lasciata cosi la funzione non va bene, perchè inizia all'istante $t=6$ e termina all'istante $t=8$ (ovvero mi rappresenta il moto del corpo a cominciare da $t=6$ fino a $t=8$) inoltre all'istante $t=6$ il corpo avrà gia (se $y$ è lo spazio percorso) percorso un po' di metri (che posso calcolare grazie a $x(6)$ con la funzione trovata precedentemente), ossia $24$ metri, perche $x(6)=24$
quindi posso scrivere questa nuova $x(t)$ appena torvata in questa maniera:
$x(t)=-1/3(t-6)^3+2(t-6)^2+24|6<=t<=8$
infine trovo $x(t) | 8<=t<=+oo$
ossia
$x(t)=Ct$
dove $C$ è la velocità all'istante $t=8$ che posso trovare grazie a $x'$ trovata prima che dovrebbe fare: $4$
perche $x'(2)=-(2)^2+4(2)=4$ dove $t=2$ in realta' sarebbe $t=8$ solo che non ho ancora aggiustato la funzione.
quindi ottengo
$x(t)=4(t-8)+88/3 | <=9t<=+oo$
il risultato finale è questo:
però sapete una cosa?
sono molto dubbioso per la $x(t)$ centrale, li non mi è saltata fuori una velocità il che è strano...
ma lascio a voi il parere
grazie
Risposte
Come hai integrato da 6 a 8? Perchè non avendo messo i passaggi non ho capito come hai fatto esattamente, a me viene un risultato diverso. Per trovare la C hai usato ancora le ipotesi iniziali (quelle uguali a zero per intenderci) ? Perchè questo non è più vero per il secondo tratto ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
A me verrebbe così il secondo pezzo:
$-t^3/3+48t-192$ (da 6 a 8)
$-t^3/3+48t-192$ (da 6 a 8)
"axpgn":
Come hai integrato da 6 a 8? Perchè non avendo messo i passaggi non ho capito come hai fatto esattamente, a me viene un risultato diverso. Per trovare la C hai usato ancora le ipotesi iniziali (quelle uguali a zero per intenderci) ? Perchè questo non è più vero per il secondo tratto ...
Cordialmente, Alex
no non ho più usato le ipotesi iniziali
ho tirato fuori la velocità iniziale dalla prima $x'(t)$ che corrispondere alla sua velocità finale, ossia 12.
poi per lo spazio iniziale della nuova $x_2(t)$ ho tirato fuori lo spazio finale dalla prima $x_1(t)$ che dovrebbe essere 24
"axpgn":
A me verrebbe così il secondo pezzo:
$-t^3/3+48t-192$ (da 6 a 8)
Questa è la curva complessiva:
ma è impossibile che lo spazio diminuisca anche se l'accelerazione è uguale a 0...
in teoria dovrebbe continuare a salire ma con una pendenza sempre minore no?
"axpgn":
Come hai integrato da 6 a 8? Perchè non avendo messo i passaggi non ho capito come hai fatto esattamente, a me viene un risultato diverso. Per trovare la C hai usato ancora le ipotesi iniziali (quelle uguali a zero per intenderci) ? Perchè questo non è più vero per il secondo tratto ...
Cordialmente, Alex
sono partito da $a(t)=0$ pimo integrale $C$ secondo integrale $Cx$
"giogiomogio":
[quote="axpgn"]A me verrebbe così il secondo pezzo:
$-t^3/3+48t-192$ (da 6 a 8)
Questa è la curva complessiva:
ma è impossibile che lo spazio diminuisca anche se l'accelerazione è uguale a 0...
in teoria dovrebbe continuare a salire ma con una pendenza sempre minore no?[/quote]
Infatti, ci sono arrivato dopo aver postato ...
Quindi hai usato le ipotesi successive (12 e 24 appunto); puoi postare i passaggi anche di questo secondo pezzo?
Cordialmente, Alex
aspetta ragioniamo un secondo e vediamo se troviamo un punto d'incontro:
per la prima funzione siamo tutti d'accordo giusto? cioe per $x_1(t) | 0<=t<=6$ ???
una volta che s inizia a lavorare sulla $x_2(t)$ partendo da $a_2(t)$
si ha che $a_2(t)=-2t+4$ giusto?
si integra e si arriva a $-t^2+4t+C$ giusto?
$C$ è la velocità giusto? sappiamo che (Se non aggiustiamo la funzione) per $x'_2(0)=x_1'(6)$ giusto? ossia la velocità è data dalla derivata della prima funzione, che mi da la velocità finale che sarebbe l'iniziale della $x'_2(0)$ quindi esce
$x'_2=-t^2+4t+12$
integrando
$-1/3t^3+2t^2+12t+C$ dove C è lo spazio percorso che sarà uguale allo spazio finale di $x(6)$ quindi $x(6)=x_2(0)$
e quindi $c=24$
quindi $x_2(t)=-1/3t^3+2t^2+12t+24$
sappiamo che questa funzione, ossia la descrizione del moto che questa funzione ci mostra è per l'istante $t=6$ fino a $t=8$ giusto?
quindi la trasliamo di $-6$ ed esce:
$x(t)=-1/3(t-6)^3+2(t-6)^2+12(t-6)+24$
per la prima funzione siamo tutti d'accordo giusto? cioe per $x_1(t) | 0<=t<=6$ ???
una volta che s inizia a lavorare sulla $x_2(t)$ partendo da $a_2(t)$
si ha che $a_2(t)=-2t+4$ giusto?
si integra e si arriva a $-t^2+4t+C$ giusto?
$C$ è la velocità giusto? sappiamo che (Se non aggiustiamo la funzione) per $x'_2(0)=x_1'(6)$ giusto? ossia la velocità è data dalla derivata della prima funzione, che mi da la velocità finale che sarebbe l'iniziale della $x'_2(0)$ quindi esce
$x'_2=-t^2+4t+12$
integrando
$-1/3t^3+2t^2+12t+C$ dove C è lo spazio percorso che sarà uguale allo spazio finale di $x(6)$ quindi $x(6)=x_2(0)$
e quindi $c=24$
quindi $x_2(t)=-1/3t^3+2t^2+12t+24$
sappiamo che questa funzione, ossia la descrizione del moto che questa funzione ci mostra è per l'istante $t=6$ fino a $t=8$ giusto?
quindi la trasliamo di $-6$ ed esce:
$x(t)=-1/3(t-6)^3+2(t-6)^2+12(t-6)+24$
"giogiomogio":
aspetta ragioniamo un secondo e vediamo se troviamo un punto d'incontro:
per la prima funzione siamo tutti d'accordo giusto? cioe per $x_1(t) | 0<=t<=6$ ???
Sì
"giogiomogio":
una volta che s inizia a lavorare sulla $x_2(t)$ partendo da $a_2(t)$
si ha che $a_2(t)=-2t+4$ giusto?
Perchè?
Io vedo che a $t=6$ corrisponde $a=4$ nella grafico iniziale, giusto?
Quindi questo mi porta ad una funzione di partenza che è:
$a_2(t)=-2t+q => a_2(t)=-2t+16$
Ti pare?
opzzz mitico hai ragione 
ok adesso proviamo ad integrare arriviamo a
$-t^2+16t + C $ giusto?
quindi $-t^2+16t+12$ dove 12 è la velocita iniziale che coincide con la velocita finale dell'altro moto giusto?
integriamo:
$-1/3t^3+8t^2+12t+C$ dove C è lo spazio finale dell'altra giusto? quindi
$-1/3t^3+8t^2+12t+24$
quindi traslando
$-1/3(t-6)^3+8(t-6)^2+12(t-6)+24$
confermi?
ok adesso proviamo ad integrare arriviamo a
$-t^2+16t + C $ giusto?
quindi $-t^2+16t+12$ dove 12 è la velocita iniziale che coincide con la velocita finale dell'altro moto giusto?
integriamo:
$-1/3t^3+8t^2+12t+C$ dove C è lo spazio finale dell'altra giusto? quindi
$-1/3t^3+8t^2+12t+24$
quindi traslando
$-1/3(t-6)^3+8(t-6)^2+12(t-6)+24$
confermi?
"giogiomogio":
ok adesso proviamo ad integrare arriviamo a
$-t^2+16t + C $ giusto?
Giusto
"giogiomogio":
quindi $-t^2+16t+12$ dove 12 è la velocita iniziale che coincide con la velocita finale dell'altro moto giusto?
Perchè?
Perchè aggiungi la velocità iniziale invece di eguagliarla?
Cioè se quell che abbiamo trovato è la funzione della velocità, all'istante 6 la funzione deve essere uguale a 12 no?
Quindi la eguagliamo e troviamo C, o no?
Che dici?
giusto e mi esce proprio 12,
guarda
$-t^2+16t+C=12$ giusto?
ma all'itante $0$ però se la vuoi all'istante $t=6$ penso si debba fare
$-(t-6)^2+16(t-6)+C=12$
no?
guarda
$-t^2+16t+C=12$ giusto?
ma all'itante $0$ però se la vuoi all'istante $t=6$ penso si debba fare
$-(t-6)^2+16(t-6)+C=12$
no?
No, secondo me no.
Siamo partiti da una retta che vale 4 all'istante 6, poi abbiamo integrato e trovato una funzione che DEVE valere 12 allo stesso istante quindi secondo me è $-t^2+16t+C=12$ anzi correttamente deve essere $-(6^2)+16*(6)+C=12$ e quindi $C=48$ se non ho sbagliato i conti ...
Siamo partiti da una retta che vale 4 all'istante 6, poi abbiamo integrato e trovato una funzione che DEVE valere 12 allo stesso istante quindi secondo me è $-t^2+16t+C=12$ anzi correttamente deve essere $-(6^2)+16*(6)+C=12$ e quindi $C=48$ se non ho sbagliato i conti ...
il 16 che hai messo (giustamente) che l'ordinata all'origine, l'hai pescato su $t=0$ vero?
e la pendenza che sia a $t=0$ o $t=6$ resta uguale.
ma quel $16$ esce fuori a $t=0$ giusto?
io penso che quindi e' per $t=0$ o se gia vuoi traslarti la funzione a $(t-6)$
e la pendenza che sia a $t=0$ o $t=6$ resta uguale.
ma quel $16$ esce fuori a $t=0$ giusto?
io penso che quindi e' per $t=0$ o se gia vuoi traslarti la funzione a $(t-6)$
ok proviamo con la tua ipotesi,
integri ancora una volta e arrivi a
$-1/3t^3+8t+48t+C$
$-1/3t^3+8t+48t+C=24$ giusto?
esce $C=-240$
mi puzza... un numero negativo... che dovrebbe esprimere lo spazio?
integri ancora una volta e arrivi a
$-1/3t^3+8t+48t+C$
$-1/3t^3+8t+48t+C=24$ giusto?
esce $C=-240$
mi puzza... un numero negativo... che dovrebbe esprimere lo spazio?
Se intendi il $16$ della retta iniziale (o meglio del secondo tratto rettilineo della funzione inziale, quella dell'accelerazione per intenderci) viene fuori all'istante $t=6$ quindi già traslata .
D'altronde i due pezzi di curva DEVONO avere lo stesso valore all'istante $t=6$, che sia la curva dell'accelerazione, della velocità o del tempo.
Spero di essere stato chiaro ...
D'altronde i due pezzi di curva DEVONO avere lo stesso valore all'istante $t=6$, che sia la curva dell'accelerazione, della velocità o del tempo.
Spero di essere stato chiaro ...
"giogiomogio":
ok proviamo con la tua ipotesi,
integri ancora una volta e arrivi a
$-1/3t^3+8t+48t+C$
$-1/3t^3+8t+48t+C=24$ giusto?
esce $C=-240$
mi puzza... un numero negativo... che dovrebbe esprimere lo spazio?
No, è $-48t$ quindi $C=96$
Scusa mi ero perso un meno ...
l'ordinata all'origine di quella retta che è 16 la leggi a $t=0$ (Secondo me)
e cmq com'è che ti esce -48t?
e cmq com'è che ti esce -48t?
Ricapitolo perchè qui ci stiamo perdendo:
$a(t)=-2t+16$
$v(t)=-t^2+16t-48$
$x(t)=-t^3/3+8t^2-48t+96$
Queste sono le funzioni per il tratto da 6 a 8.
$C$ può essere negativo in quanto sarebbe lo spostamento all'istante 0 che però NON interessa questo tratto di curva ...
$a(t)=-2t+16$
$v(t)=-t^2+16t-48$
$x(t)=-t^3/3+8t^2-48t+96$
Queste sono le funzioni per il tratto da 6 a 8.
$C$ può essere negativo in quanto sarebbe lo spostamento all'istante 0 che però NON interessa questo tratto di curva ...
e -48 sarebbe la velocità? sicuro?
quindi $-48*6=-288$? sempre in negativo?
quindi $-48*6=-288$? sempre in negativo?
Dunque, rifaccio tutti i passaggi ...
Da $t=6$ a $t=8$ abbiamo una retta che ha l'equazione $a(t)=-2t+16$ infatti $a(6)=-12+16=4$
Integrando otteniamo $v(t)=-t^2+16t+C$, ok?
Questa funzione, all'istante $t=6$ deve valere $12$ come la prima parte del grafico, ok? Quindi se sostituisco a t il valore 6 ottengo $v(6)=12 => 12=-36+96+C$
Proseguo al post successivo ...
Da $t=6$ a $t=8$ abbiamo una retta che ha l'equazione $a(t)=-2t+16$ infatti $a(6)=-12+16=4$
Integrando otteniamo $v(t)=-t^2+16t+C$, ok?
Questa funzione, all'istante $t=6$ deve valere $12$ come la prima parte del grafico, ok? Quindi se sostituisco a t il valore 6 ottengo $v(6)=12 => 12=-36+96+C$
Proseguo al post successivo ...
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