Problema Iperbole-Ellisse

[salvatorelag92]

Salve a tutti,non riesco a risolvere il primo punto di questo problema,ovvero l'intersezione tra un'iperbole ed un'ellisse.
Il problema dice

"Calcola le coordinate dei punti di intersezione tra l'iperbole di equazione x^2- 2y^2 -2 = 0 e l'ellisse di equazione x^2 / 4 + y^2 = 1 ....(K SAREBBE x^2 + 4 y^2 - 4 = 0 )...
Qualcuno saprebbe risolverlo?

[BIT5]

L'operatore matematico utile a trovare i valori delle incognite tali che siano verificate contemporaneamente TUTTE le condizioni e' il sistema.

[math] \{x^2-2y^2-2=0 \\ x^2+4y^2-4=0 [/math]

Dalla prima ricaviamo

[math] x^2 [/math]

e sostituiamo nella seconda

[math] \{x^2=2y^2+2 \\ 2y^2+2+4y^2-4=0 [/math]

Dalla seconda otteniamo

[math] 6y^2-2=0 \to y^2=\frac13 \to y= \pm \sqrt{\frac13} \to y= \pm \frac{\sqrt3}{3} [/math]

E dunque sostituendo nella prima il valore

[math] y=+ \frac{ \sqrt3}{3} [/math]

[math] x^2=2y^2+2 \to x^2=2(\frac13}+2=\frac83 [/math]

e quindi (razionalizzando)

[math] x= \pm \sqrt{ \frac83}= \pm \frac23 \sqrt6 [/math]

e quindi abbiamo due punti

[math] P_1(+ \frac23 \sqrt6,+ \frac{ \sqrt3}{3}) [/math]

[math] P_2(- \frac23 \sqrt6,+ \frac{ \sqrt3}{3}) [/math]

analogamente, sostituendo l'altro valore di y, trovi (se esistono, e vedrai che esistono!) altri due punti.

[salvatorelag92]

E così è come esce a me! Però nel mio libro i risultati sono .... più o meno due,più o meno due ... e poi ce ne sono altri due.Perchè?...

[BIT5]

Ma la richiesta e' una sola? Non e' che gli altri due punti sono la soluzione della seconda domanda?

Un'iperbole e un'ellisse, ntrambe con centro in O, si incontrano in 4, 2 o 0 punti. In 8 punti mai..

Per quanto riguarda i risultati, se ci vengono uguali, e il testo che hai scritto e' corretto, direi che il libro e' sbagliato.

[salvatorelag92]

Infatti credo che sia un errore del libro. E non credo che siano i risultati del secondo punto perchè poi così continua "Scrivi poi le equazioni delle rette tangenti all'iperbole in tali punti e calcola la'rea del poligono da esse delimitato"

[ciampax]

Tra l'altro i punti

[math](\pm 2,\pm 2)[/math]

non sono neanche punti delle due curve (basta andare a sostituire!)

[salvatorelag92]

L'equazione dell'iperbole è sbagliata! Io ho il libro nuovo e hanno sbagliato quei cretini. L'equazione è x^2 / 8 + y^ 2 / 2 = 1 infatti i punti escono più o meno due e più o meno due. Solo che nel libro mi porta altri due punti (in totale quattrO) che non riesco a trovare. E' da tre ore...uff

[ciampax]

:asd Capita!