Problema iperbole

[indovina]

scrivere l'equazione dell'iperbole equilatera i cui fuochi sono i punti F1(0;1) e F2(4;1)

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scrivere l'equazione dell'iperbole avente per vertici i punti V1(-1;2) E V2(5;2) E UNO DEI FUOCHI F(7;2).determinare gli asindoti

[Pillaus]

ponendo X = x-2 e Y = y-1 trasliamo i fuochi sull'asse x centrati rispetto all'origine. Diventano quindi F1(-2,0) e F2(2,0)
Siccome F1 = (-c,0) e F2 = (c,0), abbiamo

[math]c = 2 = \sqrt{a^2 + b^2}[/math]

però a = b (l'iperbole è equilatera), quindi

[math]a=b=\sqrt{2}[/math]

Sostituendo nell'equazione generica dell'iperbole, e traslando al contrario, abbiamo

[math]\frac{X^2}{2} - \frac{Y^2}{2} = 1\\
X^2 - Y^2 = 2\\
(x-2)^2 - (y-1)^2 = 2\\
x^2 - y^2 - 4x +2y + 1 = 0[/math]

Secondo: traslando X = x-2 e Y = y-2 abbiamo
V1(-3,0) V2(3;0) F(4,0)
Sostituendo le coordinate dei vertici nell'iperbole generica abbiamo

[math]\frac{9}{a^2} = 1\\
a = 3[/math]

Dal fuoco si deduce che c = 4, quindi

[math]c = 4 = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2+b^2}\\
b = \sqrt{7}[/math]

Perciò:

[math]\frac{X^2}{9} - \frac{Y^2}{7} = 1\\
7X^2 - 9Y^2 = 63\\
7(x-2)^2 - 9(y-2)^2 = 63
7x^2 - 9y^2 - 28x + 36y - 71 = 0[/math]