Problema iperbole (1331)

[indovina]

scrivere l'equazione dell'iperbole avebte per vertici i punti V1(0;2) e V2(0;4) e uno dei fuochi nel punto O(0;0).

[ciampax]

L'equazione dell'iperbole che cerchiamo, è un po' diversa da quella classica, visto che il centro non è nell'origine. In generale, se il centro dell'iperbole è il punto di coordinate

[math]C(x_0,y_0)[/math]

, allora l'equazione dell'iperbole è

[math]\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=-1[/math]

poiché nella nostra situazione l'iperbole è orientata in verticale.

Ora, il centro dell'iperbole è il punto medio del segmento che congiunge i vertici. Ne segue che nel nostro caso le coordinate sono

[math]x_0=\frac{0+0}{2}=0, y_0=\frac{2+4}{2}=3[/math]

Sostituendo nell'equazione, abbiamo

[math]b^2x^2-a^2(y-3)^2=-a^2b^2[/math]

Ora, visto che le coordinate dei vertici soddisfano tale equazione, abbiamo anche

[math]b^2\cdot 0^2-a^2(2-3)^2=-a^2b^2\Rightarrow -a^2=-a^2b^2[/math]

da cui

[math]b^2=1[/math]

. Ora, per calcolare

[math]a^2[/math]

abbiamo la relazione

[math]b^2+a^2=(c-y_0)^2[/math]

dove

[math]c=0[/math]

è la coordinata del fuoco. Sostituendo i valori noti abbiamo

[math]a^2+1=(0-3)^2[/math]

da cui

[math]a^2=8[/math]

.

Ciao!

[indovina]

ciao ciampax grazie avevo sbagliato i calcoli,cm al solito.