Problema iperbole (1271)

[indovina]

traccia:
trovare le equazioni delle tangenti all'iperbole di equazione x^2-y^2\2=1, passanti per il punto P(1;1) e le coordinate dei punti di contatto.


traccia 2:
le parallele all'asse x, condotte per i fuochi f1(0;3)di un iperbole intersecano gli asindoti delliperbole , nei vertici di un rettangolo avente la diagonale che misura 9radical2; scrivere l'equazione dell'iperbole e calcola l'eccentricità

grazie in anticipo

[ciampax]

Problema 1)

L'equazione della generica retta per il punto dato è

[math]y-1=m(x-1)\Rightarrow y=mx-m+1[/math]

Sostituendo tale valore per

[math]y[/math]

nell'equazione dell'iperbole, otteniamo

[math]2x^2-(mx-m+1)^2=2[/math]

da cui, dopo un po' di semplificazioni

[math](2-m^2)x^2-2m(1-m)x-(1-m)^2-2=0[/math]

Imponendo che il discriminante di tale equazione sia uguale a zero otteniamo

[math]4m^2(1-m)^2+4(2-m^2)[(1-m)^2+2]=0[/math]

da cui

[math]m^2(1-m)^2+2[(1-m)^2+2]-m^2(1-m)^2-2m^2=0[/math]

e quindi

[math]-2m+3=0\Rightarrow m=3/2[/math]

quindi l'unica retta tangente è

[math]y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}[/math]

Se adesso tornaiamo allequazione in

[math]x[/math]

scritta prima, sostituendo il valore trovato di

[math]m[/math]

otteniamo

[math]x^2-6x+9=0[/math]

la cui soluzione è

[math]x=3[/math]

. Sostituendo tale valore nell'equazione della retta, otteniamo

[math]y=4[/math]

e quindi il punto di contatto

[math]A(3,4)[/math]

.




Problema 2)

Suppongo che il secondo fuoco sia

[math]f_2(0,-3)[/math]

(se così non fosse, quello che segue è una stronzata!)

Le equazioni delle due rette parallele all'asse x sono allora

[math]y=3, y=-3[math]

ed essendo [math]y=\pm b/a x[/math]

le equazioni degli asintoti, otteniamo le intersezioni

[math]A(3b/a,3), B(3b/a,-3), C(-3b/a,-3), D(-3b/a,3)[/math]

La diagonale risulta allora

[math]|AC|^2=(3b/a+3b/a)^2+(3+3)^2=36b^2/a^2+36=162=(9\sqrt{2})^2[/math]

Semplificando

[math]2b^2+2a^2=9a^2\Rightarrow 2b^2-7a^2=0[/math]

Si ricordi ora che

[math]b^2+a^2=9[/math]

che è la relazione tra semiassi e fuochi.

Allora da quest'ultima

[math]b^2=9-a^2[/math]

e quindi

[math]18-2a^2-7a^2=0\Rightarrow 2-a^2=0\Rightarrow a^2=2[/math]

e quindi

[math]b^2=7[/math]

da cui l'equazione dell'iperbole

[math]\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{7}=1[/math]

Infine per l'eccentricità

[math]e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}[/math]

Finito!

[indovina]

grazie ancora ciampax