Problema geometrico 71

[Marco241]

Senza aprire altri post metto tutto qui dentro:

71)E' dato il rettangolo ABCD di area 48*a^2e avente l'altezza AD che supera di 2*a la lunghezza della base AB.Dopo aver trovato le lunghezza dei lati del rettangolo determinare a quale distanza dai lati AD e AB del rettangolo deve essere preso un punto P ,interno al rettangolo,affinchè l'angolo APB sia retto e il punto P sia equidistante dalla base AB e dalla diagonale BD.

SVOLGIMENTO:

Chiamo

$ bar(PE) $ la distanza da AD.

$ bar(PT) $ la distanza da AB.

$ bar(PK) $ la distanza da BD.

Pongo $ bar(PE) = X $

E mi ricavo tutto ciò che è incognito in funzione di x.

Adesso ragiono nel modo seguente:

poichè il triangolo APB è retto in P vuol dire che i cateti sono perpendicolari.AP è perpendicolare in P ma anche in K.

in altre parole $ bar(PK) $ è un prolungamento di $ bar(AP) $ .

$ bar(AK) $ è l'altezza del triangolo ABD.Adesso conosco l'area di questo triangolo che è la metà di quella del rettangolo.

Adesso applicando la formula del calcolo dell'area al triangolo ABD ottengo un equazione nella variabile X di terzo grado ma il problema non viene...Dove sbaglio?Qual'è la condizione da imporre?

[giammaria2]

"Marco24": AP è perpendicolare in P ma anche in K.

Questa frase non ha alcun significato: a cosa è perpendicolare AP? La frase giusta (ma inutile) dovrebbe essere: "AP è perpendicolare a BP e PK è perpendicolare a BD"; non c'è motivo perché PK sia il prolungamento di AP.
Spero che tu abbia già calcolato i lati del rettangolo e faresti bene a scrivere la relativa soluzione. Il difficile sta nel proseguire quindi ti aiuto con la mia soluzione, senza escludere che ce ne possano essere di migliori.
P è equidistante da AB e BD e quindi sta sulla bisettrice dell'angolo $A \hat B D$. Prolungo BP fino ad incontrare AD in G e calcolo AG col teorema della bisettrice di un triangolo; ora conosco i cateti e calcolo facilmente l'ipotenusa del triangolo ABG. Quest'ultimo è suddiviso in vari triangoli, tutti rettangoli e simili a lui, e puoi arrivare ai risultati richiesti con la similitudine o con i teoremi di Euclide ; io non ho fatto i calcoli, noiosetti ma non difficili.

Il mettere vari problemi in uno stesso topic ha un grave inconveniente: le soluzioni spesso si mescolano fra loro e non si sa bene a quale problema si riferisca un certo suggerimento; nei tuoi panni non lo farei.

[Marco241]

Edito il topic e si ritorna al problema 71

[Marco241]

Allora Giammaria:

Ho già ricavato i lati e la diagonale.Ho notato che P è equidistante ma non mi è venuto in automatico che sta sulla bisettrice.Adesso senza vedere la soluzione e prendendo spunto da questo cerco di risolvere il problema.

[Marco241]

Ho risolto il problema.Non avevo intuito che dovevo usare il teorema della bisettrice e che dovevo prolungarla.Grazie ancora!!