Problema geometrico

[gianluca448]

è data una circonferenza di diametro AB e raggio 2r

- determinare il raggio di una circonferenza di centro O, tangente internamente in B alla data, in modo che condotte da A le tangenti alla circonferenza di centro O e detti M ed N i punti di tangenza, sia verificata la relazione $ AM+2MO= 2r(sqrt(2)+1) $

- Indicando con il punto C il punto comune al diametro AB e alla circonferenza di centro O, dimostrare che C è l'incentro del triangolo AMN


Grazie per la collaborazione

[gianluca448]

Il primo punto l'ho fatto ricavadomi MO che sarebbe il raggio della circonferenza di centro O

i due valori che mi vengono sono OM =r ed OM = $ 2rsqrt(2)-r $

[donald_zeka]

Perché il raggio è 2r?

[gianluca448]

Il problema mi dato 2r come raggio della circonferenza più grossa, forse appunto per distinguerlo da quello che devo andare a trovare. Comunque non saprei

[gianluca448]

Non riesco ad andare avanti con il secondo punto del problema. vi chiedo un aiuto per concludere il problema, grazie

[@melia]

Il triangolo AMN è isoscele, quindi sappiamo già che AO è bisettrice dell'angolo in A.
Considero il triangolo CMN, isoscele su base MN, indico con $alpha$ la misura degli angoli $hat(CMN)=hat(CNM)$.
Il triangolo MCO è isoscele su base MC, $hat(COM)=2 alpha$ perché angolo al centro in cui l'angolo alla circonferenza (CNM) è $alpha$.
Adesso trova prima gli angoli del triangolo AMO e poi quelli di AMC, ti verrà che anche $hat( AMC) = alpha$ ...

[adrius81]

"gianluca448":Il primo punto l'ho fatto ricavadomi MO che sarebbe il raggio della circonferenza di centro O

i due valori che mi vengono sono OM =r ed OM = $ 2rsqrt(2)-r $

Scusa come hai fatto a trovarti questi 2 valori?

[@melia]

È un problema del 2015, sono passati 6 anni, forse l'OP non è più attivo, ma anche se lo fosse non ricorderà certo come aveva risolto il problema.

[adrius81]

ok grazie, non sapreste rispondermi?

[@melia]

Il triangolo AMO è rettangolo in $hat(M)$, posto $bar(MO)=x$, $bar(AO)=2r-x$ e dalla relazione data$ bar(AM)= 2r(sqrt(2)+1) -2bar(MO) = 2r(sqrt(2)+1) -2x$ in questo modo hai i tre lati di un triangolo rettangolo in funzione della sola incognita $x$, applicando il teorema di Pitagora ottieni il raggio della circonferenza piccola ($x$).
$bar(MO)^2+bar(AM)^2=bar(AO)^2$