Problema Geometria Triangoli/Circonferenze

[vena1]

Ciao a tutti.
Allora, dato un triangolo rettangolo, come si può arrivare a dire che la somma dei cateti supera l'ipotenusa di un segmento avente la lunghezza del diametro di una circonferena inscritta allo stesso triangolo?
Grazie mille.

[Sk_Anonymous]

Disegna il triangolo rettangolo con la circonferenza inscritta dentro, osserva che se le tangenti uscenti dal'angolo retto (A) toccano la circonferenza in D e E, e detto O il centro della circonferenza, ottieni che il quadrilatero ADOE è un quadrato (lati a due a due uguali e 3 angoli retti) e poi applica il teorema delle tangenti.

[vena1]

La ringrazio
tuttavia non riesco a capire la sua definzione di quadrato ( 3 angoli retti?) e come possa aiutare il teorema delle tangenti.

[franced]

"amelia":Disegna il triangolo rettangolo con la circonferenza inscritta dentro, osserva che se le tangenti uscenti dal'angolo retto (A) toccano la circonferenza in D e E, e detto O il centro della circonferenza, ottieni che il quadrilatero ADOE è un quadrato (lati a due a due uguali e 3 angoli retti) e poi applica il teorema delle tangenti.

Molto interessante questo risultato, ma ora mi piacerebbe generalizzare anche ai triangoli non rettangoli.

"La somma dei lati più piccoli di un triangolo supera il terzo di un segmento..."

[Sk_Anonymous]

"vena":La ringrazio
tuttavia non riesco a capire la sua definzione di quadrato ( 3 angoli retti?) e come possa aiutare il teorema delle tangenti.

Per cominciare sul forum sono, come te, una normale utente, quindi per piacere dammi del tu.
Per il resto riproviamo:
disegna un triangolo rettangolo ABC, con l'angolo retto in A, inscrivi una circonferenza di centro O e indica con D il punto di tangenza su AB, con E quello su BC e con F quello su AC.
Il quadrilatero ADOF ha DO=OF, entrambi raggi, e 3 angoli retti (in A per costruzione, in D e F perché la tangente è perpendicolare al raggio) quindi è retto anche il quarto angolo e ADOF è un quadrato, di lato $r=OD=OF=AD=AF$.
Considera ora le tangenti al cerchio uscenti da B, per il teorema delle tangenti si ha che $BD=BE=b$, mentre se consideri le tangenti uscenti da C ottieni $CE=CF=c$.
Torna ora al triangolo $AB=b+r$, $AC=c+r$ e $BC=b+c$, quindi $AB+AC=b+r+c+r=BC+2r$ come volevasi dimostrare.
Spero di essere stata chiara. Buon lavoro
Amelia

[elios2]

Non credo che si possa generalizzare questo risultato a tutti i triangoli...

[franced]

"elios":Non credo che si possa generalizzare questo risultato a tutti i triangoli...

Attenzione, non ho detto che voglio estendere l'enunciato dell'esercizio a tutti i triangoli,
ma voglio generalizzarlo: dobbiamo trovare, cioè, una modifica che renda il
risultato simile (ma non identico) a quello che abbiamo dimostrato per i triangoli rettangoli.

Capito?

[elios2]

Capito

[elios2]

Capito

[elios2]

Capito

[vena1]

"amelia":[quote="vena"]La ringrazio
tuttavia non riesco a capire la sua definzione di quadrato ( 3 angoli retti?) e come possa aiutare il teorema delle tangenti.

Per cominciare sul forum sono, come te, una normale utente, quindi per piacere dammi del tu.
Per il resto riproviamo:
disegna un triangolo rettangolo ABC, con l'angolo retto in A, inscrivi una circonferenza di centro O e indica con D il punto di tangenza su AB, con E quello su BC e con F quello su AC.
Il quadrilatero ADOF ha DO=OF, entrambi raggi, e 3 angoli retti (in A per costruzione, in D e F perché la tangente è perpendicolare al raggio) quindi è retto anche il quarto angolo e ADOF è un quadrato, di lato $r=OD=OF=AD=AF$.
Considera ora le tangenti al cerchio uscenti da B, per il teorema delle tangenti si ha che $BD=BE=b$, mentre se consideri le tangenti uscenti da C ottieni $CE=CF=c$.
Torna ora al triangolo $AB=b+r$, $AC=c+r$ e $BC=b+c$, quindi $AB+AC=b+r+c+r=BC+2r$ come volevasi dimostrare.
Spero di essere stata chiara. Buon lavoro
Amelia[/quote]
Chiarissima.
Grazie