Problema Geometria Solida con discussione
Buongiorno a tutti,
sto aiutando un ragazzo di quinta liceo scientifico in matematica ma la sua professoressa anzichè dedicarsi subito ad i analisi ha deciso di fermarsi prima su geometria solida. I problemi che sta facendo in classe ohimè non mi vengono. Il punto in cui mi blocco è sempre lo stesso in realtà. Vi chiedo di aiutarmi nella risoluzione di questo, nella speranza di capire poi come procedere con i simili:
E' dto un triangolo ABC in cui l'angolo in A è di 45°, in C di 30° e l'altezza BH = l. Condurre una parallela ad AC che incontri AB in M e BC in N in modo che, dette M1 e N1 le proiezioni di M e N su AC, la superficie laterale del solido generato dal rettangolo MNN1M1 in una rotazione completa attorno ad AC stia in rapporto k con la superficie generata dal triangolo ABC nella stessa rotazione.
Trovare la superficie laterale del solido generato dalla rotazione del triangolo ABC non è stato un problema. Vi posto comunque i passaggi da me svolti:
Si tratta di due coni retti con base comune:
$ S = \pi*r*ap $
r = BH
ap1 = AB
ap2 = BC
Dato che BH = l, r = l
Considero l'angolo BAC = 45 °
sin 45 = BH / AB
$ AB = sqrt(2)*l $
Considero l'angolo BCA = 30°
sin 30 = BH/BC quindi BC = 2*l
Sommando le due superfici laterali ottenute ottengo:
$ S = pi*(l)^(2)*(2+sqrt(2)) $
Ora non so come sfruttare le altre informazioni a mia disposizione per calcolare la superficie laterale del cono generato dalla rotazione del rettangolo. Nemmeno le similitudini tra triangoli nè trigonometria mi sono tornati utili. Mi appello alla vostra sapienza!
Grazie
sto aiutando un ragazzo di quinta liceo scientifico in matematica ma la sua professoressa anzichè dedicarsi subito ad i analisi ha deciso di fermarsi prima su geometria solida. I problemi che sta facendo in classe ohimè non mi vengono. Il punto in cui mi blocco è sempre lo stesso in realtà. Vi chiedo di aiutarmi nella risoluzione di questo, nella speranza di capire poi come procedere con i simili:
E' dto un triangolo ABC in cui l'angolo in A è di 45°, in C di 30° e l'altezza BH = l. Condurre una parallela ad AC che incontri AB in M e BC in N in modo che, dette M1 e N1 le proiezioni di M e N su AC, la superficie laterale del solido generato dal rettangolo MNN1M1 in una rotazione completa attorno ad AC stia in rapporto k con la superficie generata dal triangolo ABC nella stessa rotazione.
Trovare la superficie laterale del solido generato dalla rotazione del triangolo ABC non è stato un problema. Vi posto comunque i passaggi da me svolti:
Si tratta di due coni retti con base comune:
$ S = \pi*r*ap $
r = BH
ap1 = AB
ap2 = BC
Dato che BH = l, r = l
Considero l'angolo BAC = 45 °
sin 45 = BH / AB
$ AB = sqrt(2)*l $
Considero l'angolo BCA = 30°
sin 30 = BH/BC quindi BC = 2*l
Sommando le due superfici laterali ottenute ottengo:
$ S = pi*(l)^(2)*(2+sqrt(2)) $
Ora non so come sfruttare le altre informazioni a mia disposizione per calcolare la superficie laterale del cono generato dalla rotazione del rettangolo. Nemmeno le similitudini tra triangoli nè trigonometria mi sono tornati utili. Mi appello alla vostra sapienza!
Grazie
Risposte
Ponendo $NM_1=x$ puoi trovare $MN$ con una semplice proporzione infatti i triangoli $ABC$ e $MBN$ sono simili dunque $MB:MN=AB:AC$
Per trovare $MB$ basta notare che $AM=x\sqrt 2$ allora $MB=sqrt 2 (l-x)$.
"Lucamate":
Ora non so come sfruttare le altre informazioni a mia disposizione per calcolare la superficie laterale del cono generato dalla rotazione del rettangolo.
Il rettangolo genera un cilindro non un cono.
Per il resto basta trovare la superficie e imporre la condizione del testo
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Secondaria II grado.[/xdom]
Grazie per la risposta e chiedo scusa per l'errore nel testo da me scritto (scritto cono anzichè cilindro)
Effettuando i calcoli io arrivo alla seguente soluzione:
Posto MM1 = x
$ 2*pi*x*(sqrt(3)+1)*(l-x)$/$pi*l^(2)*(2+sqrt(2)) = k $
Ora però non riesco ad ottenere la soluzione proposta...ho pensato di porre il tutto anzichè = k come >=0 in quanto un rapporto tra volumi non può divenire negativo e può risultare in questo caso zero nel caso in cui la retta tracciata coincida con AC.
Grazie per l'aiuto
Effettuando i calcoli io arrivo alla seguente soluzione:
Posto MM1 = x
$ 2*pi*x*(sqrt(3)+1)*(l-x)$/$pi*l^(2)*(2+sqrt(2)) = k $
Ora però non riesco ad ottenere la soluzione proposta...ho pensato di porre il tutto anzichè = k come >=0 in quanto un rapporto tra volumi non può divenire negativo e può risultare in questo caso zero nel caso in cui la retta tracciata coincida con AC.
Grazie per l'aiuto
La soluzione del testo è:
2 sol. per $ k >= 0$ e $ k<=((sqrt(3)+1)(sqrt(2)-1)sqrt(2))/4 $
2 sol. per $ k >= 0$ e $ k<=((sqrt(3)+1)(sqrt(2)-1)sqrt(2))/4 $
Un aiuto su questo punto mi sarebbe utile anche in problemi simili! Purtroppo spesso la condizione più immediata che mi viene da porre è >=0 ma con successo solo in alcuni testi, non vorrei fosse un caso...
Comincio con l'invitarti a leggere il regolamento (c'è un rimando nel riquadro rosa in alto): è vietato fare sollecitazioni prima che siano trascorse almeno 24 ore e tu ne hai lasciate passare poco più della metà. Ti rispondo egualmente ma solo perché non sei ancora pratico del forum ed hai aspettato almeno un po'.
Come prima cosa devi indicare la limitazione di $x$: $M M_1$ è positivo e lungo al massimo come $BH$, quindi la limitazione è $0<=x<=l$. Conviene ora scrivere la tua equazione nella forma
$x(l-x)=(kl^2(2+sqrt2))/(2(sqrt3+1))$
Il secondo membro è una costante: si tratta quindi di trovare le intersezioni fra
- la parabola $y=-x^2+lx$
- la retta orizzontale $y=(kl^2(2+sqrt2))/(2(sqrt3+1))$
La parabola ha il vertice in $V(l/2,l^2/4)$ e l'arco corrispondente alla limitazione su $x$ ha estremi in $O(0,0)$ e $A(l,0)$: su di esso ci sono quindi due intersezioni con la retta data se
$0<=(kl^2(2+sqrt2))/(2(sqrt3+1))<=l^2/4$
Dividendo tutti i membri per il coefficiente di $k$ e razionalizzando ottieni il risultato. Io ottengo un 8 a denominatore ma faccio spesso errori di distrazione.
Come prima cosa devi indicare la limitazione di $x$: $M M_1$ è positivo e lungo al massimo come $BH$, quindi la limitazione è $0<=x<=l$. Conviene ora scrivere la tua equazione nella forma
$x(l-x)=(kl^2(2+sqrt2))/(2(sqrt3+1))$
Il secondo membro è una costante: si tratta quindi di trovare le intersezioni fra
- la parabola $y=-x^2+lx$
- la retta orizzontale $y=(kl^2(2+sqrt2))/(2(sqrt3+1))$
La parabola ha il vertice in $V(l/2,l^2/4)$ e l'arco corrispondente alla limitazione su $x$ ha estremi in $O(0,0)$ e $A(l,0)$: su di esso ci sono quindi due intersezioni con la retta data se
$0<=(kl^2(2+sqrt2))/(2(sqrt3+1))<=l^2/4$
Dividendo tutti i membri per il coefficiente di $k$ e razionalizzando ottieni il risultato. Io ottengo un 8 a denominatore ma faccio spesso errori di distrazione.
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