Problema geometria solida

[HowardRoark]

Devo risolvere il seguente esercizio:










Ho trovato la soluzione perché ho supposto che $HM$ fosse ipotenusa del triangolo $HPM$. Il problema è che non capisco perché $HPM$ sia rettangolo in $P$.

Vi mostro il mio ragionamento: $HD$ è perpendicolare al piano di base; $DP$ è perpendicolare ad $AC$, perché sono diagonali di un quadrato, quindi $AC$ è perpendicolare al piano $HDP$. Poiché $HP$ passa per il punto di tangenza, $AC$ e $HP$ sono perpendicolari.

Ora, $AC$ e $PM$ sono sghembe, e siccome le perpendicolari a una retta $s$ (in questo caso $HP$) condotte per un punto $P$ giacciono tutto nello stesso piano, devo concludere che $HP$ e $PM$ non sono perpendicolari.

Dove sbaglio?

[Palliit]

Mah, non ho capito dove sbagli perché non ho seguito così attentamente il ragionamento che hai scritto, ma comunque ci sono tre triangoli (utili) sicuramente rettangoli: $HDP$ rettangolo in $D$, $HFM$ in $F$, $MBP$ in $B$. Tutti facilmente risolvibili.

[HowardRoark]

Il tuo procedimento lo capisco bene e ti ringrazio per avermelo fatto notare.
Io però non sono soddisfatto se prima non capisco gli errori che commetto. Va beh, di problemi simili ne farò molti, magari in seguito capirò l'errore.

[mgrau]

"HowardRoark":
Ora, $AC$ e $PM$ sono sghembe,

Come fanno a essere sghembe, se hanno il punto P in comune?

[HowardRoark]

"mgrau":[quote="HowardRoark"]
Ora, $AC$ e $PM$ sono sghembe,

Come fanno a essere sghembe, se hanno il punto P in comune?[/quote]

è vero, per definizione due rette sghembe non hanno punti in comune. Però, visivamente, a me sembra che $PM$ giaccia su un piano diverso rispetto ad $AC$: posso affermare che il piano nel quale giace $PM$ è incidente ad $AC$ nel punto $P$?
E, in questo caso, facendo un piccolo sforzo d'astrazione, non vedo proprio come $PM$ possa essere perpendicolare ad $HP$.

[axpgn]

Ma perché ti fai 'sti problemi inutili, anzi fuorvianti che non solo ti fanno perdere tempo ma anche pensare in modo errato?
"Visivamente mi sembra che ... il piano è incidente nel punto ... facendo un piccolo sforzo d'astrazione ..."

Il problema si risolve "semplicemente" come detto da Palliit; per verificare che quello non è un angolo retto ti basta calcolare la derivata tangente degli altri due su $DPB$ e per quanto riguarda il piano, sicuramente la retta $APC$ è contenuta in un piano, ora se fai ruotare questo piano intorno a questa retta copri tutto lo spazio quindi anche il punto $M$

Cordialmente, Alex

[HowardRoark]

"axpgn":cut

Ho applicato Pitagora al triangolo $HPM$, supponendo che $HM$ fosse ipotenusa; mi è venuto il risultato corretto. Hai detto anche tu, mi sembra, che $HP$ e $PM$ non siano perpendicolari, quindi $HPM$ non è rettangolo. Continuo ancora a non capire com'è possibile che sia arrivato al risultato corretto, però è il caso che passi oltre (comunque se vuoi spiegarmi meglio cosa mi sfugge fai pure, mi farebbe molto piacere )

I problemi me li faccio perché cerco di applicare le cose che studio: se $PB$ è perpendicolare ad $HP$, allora $PM$ non è perpendicolare ad $HP$; e allora perché, applicando Pitagora e considerando $HM$ ipotenusa, il risultato è corretto?
Insisto tanto su queste questioni perché altrimenti continuerò sempre a confondermi non appena ricomincerò a ragionare 'nello spazio', quindi meglio essere critici fin da ora

[mgrau]

Non si capisce perchè ti accanisci sul fatto che il triangolo HPM sia o no rettangolo. Visto che ti si chiede il perimetro, e visto che i tre lati si possono trovare senza problemi applicando Pitagora a tre triangoli di cui i tre lati interessati sono l'ipotenusa, che t'importa se è rettangolo? E se proprio ti importa, prima trovi i lati, e poi verifichi se lo è.