Problema geometria analitica
Salve a tutti! Non riesco a capire come risolvere questo problema di geometria analitica:
Siano dati i punti R(0,1) ed S(10/3,0); trovare le coordinate del punto T (che si trova nel primo quadrante), sapendo che il quadrilatero SORT ha area pari a 15/2, dove per O si intende l'origine degli assi.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come fare?
Grazie anticipatamente.
Siano dati i punti R(0,1) ed S(10/3,0); trovare le coordinate del punto T (che si trova nel primo quadrante), sapendo che il quadrilatero SORT ha area pari a 15/2, dove per O si intende l'origine degli assi.
Qualcuno potrebbe spiegarmi come fare?
Grazie anticipatamente.
Risposte
$\int_0^(10/3)(mx+1)dx=15/2$ Così trovi il coefficiente angolare della retta passante per T e R e poi le coordinate di T. Questo almeno se T e S hanno la stessa ascissa, altrimenti bisognerebbe lavorarci di più su..
eh, purtroppo non posso usare gli integrali per risolverlo...avevo pensato di scomporre il quadrilatero in due triangoli, ma non mi sembra una buona strada...il problema è che l'unica cosa che so del punto T è che si trova nel primo quadrante, dunque non posso fare supposizioni...
Avevo pensato anche io all'idea di considerarlo come l'unione di due triangoli...
però senza altri dati, con un po' di calcoli, secondo me trovi solo un segmento a cui appartiene T, niente di più.
però senza altri dati, con un po' di calcoli, secondo me trovi solo un segmento a cui appartiene T, niente di più.
Il problema sembra ammettere infinite soluzioni.
Te ne dico due:
${(x=5),(y=3):}$
${(x=10),(y=3/2):}$
Il ragionamento che è ho seguito è questo: prendo $T$ generico.
Congiungo $T$ con $O$
A questo punto, dette $x$ e $y$ le coordinate di $T$, l'area del triangolo $ORT$ risulta essere $x/2$ (metà base $\bar{OR}$ per altezza $x$, visto che quest'ultima è la distanza del punto dall'asse $y$).
L'area del pezzo rimanente, $OTS$, è invece $5/3y$.
Quindi si ha
$x/2+5/3y=15/2$
che è una retta. Con la limitazione del primo quadrante arrivi a un semplice segmento.
Insomma, si è trovato il luogo degli infiniti punti che soddisfano la richiesta.
Sicuro che il testo del problema recitava proprio così?
Te ne dico due:
${(x=5),(y=3):}$
${(x=10),(y=3/2):}$
Il ragionamento che è ho seguito è questo: prendo $T$ generico.
Congiungo $T$ con $O$
A questo punto, dette $x$ e $y$ le coordinate di $T$, l'area del triangolo $ORT$ risulta essere $x/2$ (metà base $\bar{OR}$ per altezza $x$, visto che quest'ultima è la distanza del punto dall'asse $y$).
L'area del pezzo rimanente, $OTS$, è invece $5/3y$.
Quindi si ha
$x/2+5/3y=15/2$
che è una retta. Con la limitazione del primo quadrante arrivi a un semplice segmento.
Insomma, si è trovato il luogo degli infiniti punti che soddisfano la richiesta.
Sicuro che il testo del problema recitava proprio così?
non so se i calcoli eseguiti velocemente siano esatti, però è utile suddividere il quadrilatero nei due triangoli ORS e RST. l'area di quest'ultimo dovrebbe risultare 35/6, la base RS=sqrt(109)/3, dunque l'altezza TH=35/sqrt(109). T è dunque un punto del luogo geometrico dei punti aventi distanza TH dalla retta RS. dalla formula della distanza punto-retta, con T(x,y)[nella formula (x0,y0)] e d=TH, con l'equazione della retta RS, dovresti ottenere le infinite soluzioni per T, tra cui devi selezionare quelle del primo quadrante. buon lavoro!
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