Problema geometria (40898)

[scratch17]

Problemi geometria

1. Fra tutti i cilindri inscritti in una medesima sfera di raggio di misura r, qual'è quello di volume massimo?
[quello il cui ragggio di base misura= r (radical6) fratto 3]
questo risultato è razionalizzato. Dai calcoli si dovrebbe ottenere [r(radice di (2/3))]

2. Fra tutti i cilindri che hanno lo stesso volume di misura V, qual'è quello inscritto nella sfera più piccola?
[quello il cui ragggio di base misura= radice cubica V fratto(pigreco per radical2)]

3. Inscrivere in un cono di raggio r altezzah il cilindro di volume massimo.
[l'altezza del cilindro sarà un terzo di quella del cono]

4. Fra tutti i cilndri inscritti in una sfera di raggio di misura r il cilindro di superfice totale massima.
[quello il cui raggio di base misura= r (radical2) fratto 2]

[BIT5]

1) Disegna la sezione della figura, che tagli la sfera e il cilindro passando per il centro della sfera, rappresentata da un cerchio con un rettangolo inscritto.

Mettiamo le stesse lettere nella figura, cosi' ci capiamo.
Chiama AB la base del rettangolo.

Chiama l'altezza del rettangolo x.

L'altezza del rettangolo (inscritto) potra' essere al minimo ZERO e al massimo il diametro (quindi

[math] 0 \le x \le 2r [/math]

)

La diagonale del rettangolo e' un diametro della circonferenza e misurera' dunque 2r.

Con il teorema di Pitagora, calcoliamo dunque la base del rettangolo.

[math] AB= \sqrt{4r^2-x^2} [/math]

Consideriamo ora che la base del rettangolo altro non e' che il diametro della circonferenza di base del cilindro.

Pertanto il raggio del cilindro sara' meta' della base (

[math] \frac{ \sqrt{4r^2-x^2}}{2} [/math]

) e pertanto la superficie del cerchio di base del cilindro sara'

[math] \pi r^2 = \pi \frac{4r^2-x^2}{4} [/math]

E dunque il volume del cilindro

[math] x \pi \frac{4r^2-x^2}{4} = \pi r^2 x - \frac{ \pi x^3}{4} [/math]

Per conoscere l'andamento del volume (ovvero per quali valori il volume aumenta, diminuisce, e' massimo o minimo) calcoliamo la derivata prima

[math] V'(x)= \pi r^2 - \frac{3 \pi}{4}x^2 [/math]

Studiamo

[math] V'(x)>0 \to x^2< \frac{4r^2}{3} \to - \frac{2r}{\sqrt3} < x < \frac{2r}{\sqrt3} [/math]

che nei limiti dei valori di x sara'

[math] 0 < x < \frac{2r}{\sqrt3} [/math]

Il volume quindi cresce nell'intervallo trovato e in

[math] x= \frac{2r}{\sqrt3}= \frac{2r \sqrt3}{3} [/math]

avremo il volume massimo.

Il raggio di base era

[math] \frac{ \sqrt{4r^2-x^2}}{2} [/math]

Quindi sostituendo

[math] \frac{ \sqrt{4r^2- \frac{4r^2}{3}}}{2}= \frac{\sqrt{ \frac{8r^2}{3}}}{2}= \frac {2 \sqrt2 r}{2 \sqrt3} = \frac{ \sqrt2 r}{ \sqrt3}[/math]

Razionalizzando

[math] \frac{ \sqrt2 \sqrt3 r}{\sqrt3 \sqrt3}= \frac{\sqrt6}{3}r [/math]