Problema geometria (3644)

[rebe]

Ciao a tutti mi sapete aiutare? come si risolve?......Sui lati CD, BC, AD di un rettangolo ABCD considera,rispettivamente,i punti, L, M, N con BM e DN aventi entrambi lunghezza uguale al doppio della lunghezza di CL. Determina i suddetti punti quando la lunghezza di CD e' uguale ad "a" e quella di BC e' 2a mentre la somma dei quadrati dei lati del triangolo LMN e' 38/9a^2 .....e' di 2a liceo ....grazie

[Pillaus]

Allora, chiamiamo

[math]CL = x[/math]

. Hai allora:

[math]DL = a-x\\
DN = 2x\\
BM = 2x\\
CM = 2a - 2x\\[/math]

Ora, consideriamo il triangolo rettangolo CLM. Per l'ipotenusa ML vale:

[math]ML^2=CL^2+CM^2=x^2 + \left(2a-2x\right)^2=5x^2 - 8ax + 4a^2[/math]

Stesso ragionamento si può fare per il triangolo LDN, ottenendo

[math]LN^2 = DL^2 + DN^2 = \left(a-x\right)^2 + \left(2x\right)^2 = 5x^2 - 2ax + a^2[/math]

Resta solo da determinare il quadrato di MN. Ora, supponendo che

[math]CM > DN \Rightarrow x < a/2[/math]

, proiettiamo N sul lato BC, e chiamiamo H la proiezione. Abbiamo

[math]CH = DN[/math]

, e dunque

[math]MH = CM - CH = CM - DN[/math]

. Per il lato MN, ipotenusa di MNH, abbiamo:

[math]MN^2 = MH^2 + NH^2 = \left(2a - 2x - 2x\right)^2 + a^2 = 5a^2 - 16ax + 16a^2[/math]

(se CM < DN basta proiettiare M su AD e si ottiene lo stesso risultato). Per la somma dei quadrati hai dunque:

[math]ML^2 + LN^2 + MN^2 =\\
= 5x^2 - 8ax + 4a^2+5x^2 - 2ax + a^2+5a^2 - 16ax + 16x^2 =\\ =26 x^2 - 26ax + 10a^2 = \frac{38}{9}a^2\\
9x^2 - 9ax + 2a^2 = 0\\
x_{1,2} = \frac{9a \pm \sqrt{9^2 a^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 a^2}}{2 \cdot 9} = \frac{1}{3}a,\frac{2}{3}a[/math]

[rebe]

grazie mille :thx:thx

[IPPLALA]

Chiudo!