Problema funzione definita a tratti
Salve ragazzi, vorrei proporvi questo esercizio riguardante una funzione definita a tratti
Data la funzione $f(x)={ (-sqrt(2x-x^2), per 0<=x>=2) (4-x^2, per x<0 e x>2)}$
verifica che gli zeri di f sono $x=0, x=-2 e x=2$; siano $O,A,B$ i punti corrispondenti.
Considera poi un punto $P$ appartenente a $f(x)$ e indica con $P',P''$ le sue proiezioni rispettivamente sull'asse delle x e y. Calcola:
$lim x->(0+) (PO)/(PP'+PP'')$
$lim x->(0-) (3PO)/(PP'+PP'')$
$lim x->(2) (PB)/(PP')$
Per quanto riguarda la verifica degli zeri ho sostituito al posto della x il valore corrispondente. Il problema riguarda il punto $P$ ed il calcolo dei limiti. Ho supposto che l'ascissa di $P$ sia un parametro $K$ e l'ho sostituito all'interno della funzione. Quando però devo calcolare le proiezioni, di quale ordinata devo tener conto?
Data la funzione $f(x)={ (-sqrt(2x-x^2), per 0<=x>=2) (4-x^2, per x<0 e x>2)}$
verifica che gli zeri di f sono $x=0, x=-2 e x=2$; siano $O,A,B$ i punti corrispondenti.
Considera poi un punto $P$ appartenente a $f(x)$ e indica con $P',P''$ le sue proiezioni rispettivamente sull'asse delle x e y. Calcola:
$lim x->(0+) (PO)/(PP'+PP'')$
$lim x->(0-) (3PO)/(PP'+PP'')$
$lim x->(2) (PB)/(PP')$
Per quanto riguarda la verifica degli zeri ho sostituito al posto della x il valore corrispondente. Il problema riguarda il punto $P$ ed il calcolo dei limiti. Ho supposto che l'ascissa di $P$ sia un parametro $K$ e l'ho sostituito all'interno della funzione. Quando però devo calcolare le proiezioni, di quale ordinata devo tener conto?
Risposte
Ciao,
per prima cosa posto il grafico:
dove ho indicato con $P$ un punto qualsiasi della funzione.
Per quanto riguarda la verifica dei limiti, devi guardare a cosa tende la $x$. Se ad esempio tende a $0^+$ allora sei sulla semicirconferenza rossa; se tende a $0^-$ sei sulla semiparabola blu. Se invece $x->2$ allora devi dividere il limite in sinistro e destro.
per prima cosa posto il grafico:
dove ho indicato con $P$ un punto qualsiasi della funzione.
Per quanto riguarda la verifica dei limiti, devi guardare a cosa tende la $x$. Se ad esempio tende a $0^+$ allora sei sulla semicirconferenza rossa; se tende a $0^-$ sei sulla semiparabola blu. Se invece $x->2$ allora devi dividere il limite in sinistro e destro.
Si, ma per l'ordinata di $P$? Sostituendo con il parametro $k$ quale delle due ordinate dovrei prendere in considerazione?
Se sei sulla curva rossa, cioè la semicirconferenza, dovrai prendere l'ordinata corrispondente a $0 <= x <= 2$ (cioè quella con la radice), altrimenti l'altra.
Quindi devo basarmi su cosa tende la x del limite, giusto? Ad esempio, per calcolare $PO$ del primo limite, come ordinata di $P$ dovrei prendere quella con la radice?
Esatto, se $x$ tende a $0^+$ allora sei sulla semicirconferenza, quindi devi prendere $f(x) = -sqrt(2x-x^2)$
Mi metto al lavoro e ti faccio sapere. Riguardo al punto $P$ è giusto usare il parametro $k$ o la $x$?
Direi di usare la $x$.
Utilizzando $P(x;4-x^2)$ per l'ultimo limite, quello per $x->2+$, calcolando $PB=sqrt(4+x^2-4x+16+x^4-8x^2)$ e sostituendo il limite viene $0$, mentre il risultato sarebbe $sqrt(17)/4$. Cosa avrò sbagliato?
Il limite viene
\[
\lim_{x\to 2^+}\frac{\sqrt{4+x^2-4x+16+x^4-8x^2}}{x^2-4}
\] che effettivamente fa $sqrt(17)/4$. Forse non ti trovi sul denominatore?
\[
\lim_{x\to 2^+}\frac{\sqrt{4+x^2-4x+16+x^4-8x^2}}{x^2-4}
\] che effettivamente fa $sqrt(17)/4$. Forse non ti trovi sul denominatore?
Allora non mi trovo con i precedenti. Ho seguito questo ragionamento. $P'$ è la proiezione di $P$ sull'asse delle x, quindi ha coordinate $(x;0)$. $P''$, essendo la proiezione di $P$ sull'asse delle ordinate ha coordinate $(0;4)$, sostituendo 0 nella funzione. E' giusto o no?
Ok, allora abbiamo trovato l'errore che stai facendo. Prendo l'ultimo limite: il punto $P$ ha coordinate $(x, 4-x^2)$ e direi che fin qui ci siamo. $PP' = |f(x)|$, cioè è la distanza del punto $P$ dall'asse delle $x$, quindi il valore assoluto della sua ordinata. Ma attenzione perché se $x->2^+$ allora $4-x^2 < 0$, quindi $|4-x^2| = x^2-4$ e questo spiega il denominatore del limite che avevo postato prima.
In generale
\[
P\left(x, f(x)\right) \\
PP' = \left|f(x)\right| \\
PP'' = \left|x\right|
\]
In generale
\[
P\left(x, f(x)\right) \\
PP' = \left|f(x)\right| \\
PP'' = \left|x\right|
\]
Mentre per i due precedenti limiti è giusto il mio ragionamento?
Non lo so... Però quelle tre espressioni che ho scritto sono sempre valide, quindi le puoi sempre applicare. Poi... ti tornano i risultati con le soluzioni dell'esercizio? 
Scusa l'ignoranza, ma il limite non è una forma indeterminata del tipo $0/0$?
Parli di questo?
\[
\lim_{x\to 2^+}\frac{\sqrt{4+x^2-4x+16+x^4-8x^2}}{x^2-4}
\] Sì è una forma indeterminata $0/0$ ma il suo risultato è comunque $sqrt(17)/4$... Era questa la tua domanda?
\[
\lim_{x\to 2^+}\frac{\sqrt{4+x^2-4x+16+x^4-8x^2}}{x^2-4}
\] Sì è una forma indeterminata $0/0$ ma il suo risultato è comunque $sqrt(17)/4$... Era questa la tua domanda?
Esatto, come fa a venire $sqrt(17)/4$? Anche se razionalizzassi...
Puoi fattorizzare il numeratore, tenendo presente che
\[
4+x^2-4x+16+x^4-8x^2 = \left(x-2\right)^2\left(x^2+4x+5\right)
\] Poi semplifichi e hai finito.
\[
4+x^2-4x+16+x^4-8x^2 = \left(x-2\right)^2\left(x^2+4x+5\right)
\] Poi semplifichi e hai finito.
Hai ragione! Anche i precedenti limiti non mi escono! Ad esempio il primo mi viene limite di $(sqrt(2x))/(x+sqrt(2x-x^2))$ E', come sempre, una forma indeterminata $0/0$. Razionalizzo e poi mi blocco
Se raccogli $sqrt(2x)$ sopra e sotto ottieni
\[
\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{2x}\left(\sqrt{1-\frac{x}{2}} + \sqrt{\frac{x}{2}}\right)}
\] Se semplifichi e passi al limite ottieni $1/(1+0) = 1$.
\[
\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{2x}\left(\sqrt{1-\frac{x}{2}} + \sqrt{\frac{x}{2}}\right)}
\] Se semplifichi e passi al limite ottieni $1/(1+0) = 1$.
Grazie mille per l'aiuto!
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