Problema equivalenza
Testo:
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AC e sia BH l'altezza relativa ad AC. Detto M il punto medio di AH, traccia la retta passante per M e perpendicolare ad AC e indica con D il punto in cui tale retta incontra il prolungamento del lato BC. Dimostra che il quadrilatero AHBD è equivalente al triangolo ABC.
Ragionamento:
Si può facilmente dimostrare che il triangolo HAB $ ~= $ HCB,quindi per dimostrare l'equivalenza tra ABC e AHBD,basterebbe dimostrare l'equivalenza del triangolo ADB rispetto a HCB o HAB.
A questo punto,ho iniziato ad esaminare i triangoli cercando una congruenza di base e relativa altezza,ma non ci sono riuscito.
Ho trovato però vari elementi: chiamando P l'intersezione di MD con AB, posso affermare che il triangolo ADP $ dot= $ PBD (facendo leva sul teorema di Talete);inoltre APM ha un'area pari ad un 1/8 di ABC, così come ADM ha un 1/4 dell'area di MDC.
Tuttavia come detto non sono riuscito a trovare la soluzione...
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AC e sia BH l'altezza relativa ad AC. Detto M il punto medio di AH, traccia la retta passante per M e perpendicolare ad AC e indica con D il punto in cui tale retta incontra il prolungamento del lato BC. Dimostra che il quadrilatero AHBD è equivalente al triangolo ABC.
Ragionamento:
Si può facilmente dimostrare che il triangolo HAB $ ~= $ HCB,quindi per dimostrare l'equivalenza tra ABC e AHBD,basterebbe dimostrare l'equivalenza del triangolo ADB rispetto a HCB o HAB.
A questo punto,ho iniziato ad esaminare i triangoli cercando una congruenza di base e relativa altezza,ma non ci sono riuscito.
Ho trovato però vari elementi: chiamando P l'intersezione di MD con AB, posso affermare che il triangolo ADP $ dot= $ PBD (facendo leva sul teorema di Talete);inoltre APM ha un'area pari ad un 1/8 di ABC, così come ADM ha un 1/4 dell'area di MDC.
Tuttavia come detto non sono riuscito a trovare la soluzione...
Risposte
Il triangolo $ACD$ ha la stessa base del triangolo $ABC$ ma l'altezza è una volta e mezzo.
"axpgn":
Il triangolo $ACD$ ha la stessa base del triangolo $ABC$ ma l'altezza è una volta e mezzo.
Grazie mille Alex,ho capito.
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