Problema equazione della retta.
Salve a tutti,
pensavo di riuscire a svolgere un problema attinente all'argomento, invece ragiono da ore senza alcun esito; non so come iniziare e da dove.
Questo è il problema:
Determinare il valore del parametro $m$ per il quale la retta di equazione $y = (2 - m)/(2m)x + 1/2(1/m - 1)$ con $m != 0$
1) passi per il punto (1;2);
2) sia parallela all'asse $y$;
3) sia parallela all'asse $x$;
Non chiedo l'intero procedimento, ma soltanto degli aiuti per risolverlo in modo tale da poter passare al successivo.
Spero di capirlo.
Grazie.
pensavo di riuscire a svolgere un problema attinente all'argomento, invece ragiono da ore senza alcun esito; non so come iniziare e da dove.
Questo è il problema:
Determinare il valore del parametro $m$ per il quale la retta di equazione $y = (2 - m)/(2m)x + 1/2(1/m - 1)$ con $m != 0$
1) passi per il punto (1;2);
2) sia parallela all'asse $y$;
3) sia parallela all'asse $x$;
Non chiedo l'intero procedimento, ma soltanto degli aiuti per risolverlo in modo tale da poter passare al successivo.
Spero di capirlo.
Grazie.
Risposte
L'esrcizio che hai proposto al forum riguarda i fasci propri di rette generati da due rette dette (appunto) generatrici.
Se $r$ è una retta di equazione $ax+by+c=0$ e $s$ è una retta di equazione $a_1x+b_1y+c_1=0$, si chiama combinazione lineare di queste due equazioni la seguente equazione:
$k(ax+by+c)+k_1(a_1x+b_1y+c_1)=0$
Questa equazione rappresenta tutte le rette del fascio proprio di rette che ha come cetro l'intersezione delle rette $r$ ed $s$, infatti:
a) per $k=0 ^^ k_1!=0$ ottieni l'equazione della retta $s$ (basta sostituire e dividere per $k_1$)
b) per $k!=0 ^^ k_1=0$ ottieni l'equazione della retta $r$ (basta sostituire e dividere per $k$)
c) per $k!=0 ^^ k_1!=0$ si divide per $k$ e, ponendo $k_1/k=m$, si ottiene $ax+by+c+m(a_1x+b_1y+c_1)=0$ che al variare di $m in RR$ rappresenta tutte le rette del fascio ad eccezione della retta $s$ per ottenere la quale si deve porre $k=0$ ma questo impedisce di dare senso a $m$
A partire dall'equazione $ax+by+c+m(a_1x+b_1y+c_1)=0$, se si sviluppano i conti e si mettono in evidenza $x$ e $y$, si ottiene l'equazione $(a+a_1m)x+(b+b_1m)y+c+c_1m=0$: questa rappresenta ancora tutte le rette del fascio ad esclusione della retta $s$ e il coefficiente angolare di una generica retta del fascio è $alpha=-(a+a_1m)/(b+b_1m), inoltre:
d) per $a+a_1m=0 => m=-a/a_1$ si ottiene una retta parallela all'asse delle $x$ (in accordo col fatto che per una tal retta il coefficiente angolare deve essere $0$)
e) per $b+b_1m=0 => m=-b/b_1$ si ottiene una retta parallela all'asse delle $y$ (in accordo col fatto che per una tal retta in coefficiente angolare non è definito)
Come vedi, se l'equazione ti fosse stata data nella forma $(a+a_1m)x+(b+b_1m)y+c+c_1m=0$ avresti potuto trovare agevolmente i valori di $m$ per i quali ottenere quanto chiesto nei punti 2) e 3) del tuo problema; invece l'equazione ti è stata data nella forma
$y=-(a+a_1m)/(b+b_1m)x-(c+c_1m)/(b+b_1m)$
che, per avere senso, bisogna che sia $b+b_1m!=0$: quindi una equazione di questo tipo non esclude solo la generatrice $s$, ma anche una qualunque parallela all'asse $y$: infatti, per ottenere questa eventuale retta si dovrebbe avere la possibilità di far perdere di significato al coefficiente angolare $-(a+a_1m)/(b+b_1m)$, ma questa possibilità non c'è perchè per arrivare a lavorare con l'equazione $y=-(a+a_1m)/(b+b_1m)x-(c+c_1m)/(b+b_1m)$ bisogna supporre $b+b_1m!=0$ quando, inevece, è proprio questo il valore che ci occorrerebbe).
Tutto questo dovrebbe già bastare per rispondere al tuo dubbio, ma chiariamolo con una esemplificazione, appunto quella del tuo problema.
Abbiamo l'equazione
$y=(2-m)/(2m)x +1/2(1/m-1)$
nella quale $(2-m)/(2m)$ sta per $-(a+a_1m)/(b+b_1)$ (nota bene: la $m$ che compare nelle due ultime frazioni scritte non è la stessa, si tratta di una pura conicidenza grafica) e, dunque, $(2-m)/(2m)$ è il coefficiente angolare; per avere la parallela all'asse $x$ si deve annullare il coefficiente angolare, dunque si deve porre $2-m=0 => m=2$ (risposta al quesito 3)).
Per avere la parallela all'asse $y$ dovremmo far perdere significato al coefficiente angolare $(2-m)/(2m)$, dovremmo cioè porre $2m=0$ da cui ricavare $m=0$: ma questo non è possibile perchè, per ipotesi, $m!=0$, da cui la risposta al quesito 2) (e anche questo è in accordo col fatto che avevamo detto che una equazione del tipo $y=-(a+a_1m)/(b+b_1m)x-(c+c_1m)/(b+b_1m)$ non rappresenta per alcun valore di $m$ una parallela all'asse delle $y$)
Spero di non avere detto ca***ate e di averti fornito i chirimenti di cui avevi bisogno.
Se $r$ è una retta di equazione $ax+by+c=0$ e $s$ è una retta di equazione $a_1x+b_1y+c_1=0$, si chiama combinazione lineare di queste due equazioni la seguente equazione:
$k(ax+by+c)+k_1(a_1x+b_1y+c_1)=0$
Questa equazione rappresenta tutte le rette del fascio proprio di rette che ha come cetro l'intersezione delle rette $r$ ed $s$, infatti:
a) per $k=0 ^^ k_1!=0$ ottieni l'equazione della retta $s$ (basta sostituire e dividere per $k_1$)
b) per $k!=0 ^^ k_1=0$ ottieni l'equazione della retta $r$ (basta sostituire e dividere per $k$)
c) per $k!=0 ^^ k_1!=0$ si divide per $k$ e, ponendo $k_1/k=m$, si ottiene $ax+by+c+m(a_1x+b_1y+c_1)=0$ che al variare di $m in RR$ rappresenta tutte le rette del fascio ad eccezione della retta $s$ per ottenere la quale si deve porre $k=0$ ma questo impedisce di dare senso a $m$
A partire dall'equazione $ax+by+c+m(a_1x+b_1y+c_1)=0$, se si sviluppano i conti e si mettono in evidenza $x$ e $y$, si ottiene l'equazione $(a+a_1m)x+(b+b_1m)y+c+c_1m=0$: questa rappresenta ancora tutte le rette del fascio ad esclusione della retta $s$ e il coefficiente angolare di una generica retta del fascio è $alpha=-(a+a_1m)/(b+b_1m), inoltre:
d) per $a+a_1m=0 => m=-a/a_1$ si ottiene una retta parallela all'asse delle $x$ (in accordo col fatto che per una tal retta il coefficiente angolare deve essere $0$)
e) per $b+b_1m=0 => m=-b/b_1$ si ottiene una retta parallela all'asse delle $y$ (in accordo col fatto che per una tal retta in coefficiente angolare non è definito)
Come vedi, se l'equazione ti fosse stata data nella forma $(a+a_1m)x+(b+b_1m)y+c+c_1m=0$ avresti potuto trovare agevolmente i valori di $m$ per i quali ottenere quanto chiesto nei punti 2) e 3) del tuo problema; invece l'equazione ti è stata data nella forma
$y=-(a+a_1m)/(b+b_1m)x-(c+c_1m)/(b+b_1m)$
che, per avere senso, bisogna che sia $b+b_1m!=0$: quindi una equazione di questo tipo non esclude solo la generatrice $s$, ma anche una qualunque parallela all'asse $y$: infatti, per ottenere questa eventuale retta si dovrebbe avere la possibilità di far perdere di significato al coefficiente angolare $-(a+a_1m)/(b+b_1m)$, ma questa possibilità non c'è perchè per arrivare a lavorare con l'equazione $y=-(a+a_1m)/(b+b_1m)x-(c+c_1m)/(b+b_1m)$ bisogna supporre $b+b_1m!=0$ quando, inevece, è proprio questo il valore che ci occorrerebbe).
Tutto questo dovrebbe già bastare per rispondere al tuo dubbio, ma chiariamolo con una esemplificazione, appunto quella del tuo problema.
Abbiamo l'equazione
$y=(2-m)/(2m)x +1/2(1/m-1)$
nella quale $(2-m)/(2m)$ sta per $-(a+a_1m)/(b+b_1)$ (nota bene: la $m$ che compare nelle due ultime frazioni scritte non è la stessa, si tratta di una pura conicidenza grafica) e, dunque, $(2-m)/(2m)$ è il coefficiente angolare; per avere la parallela all'asse $x$ si deve annullare il coefficiente angolare, dunque si deve porre $2-m=0 => m=2$ (risposta al quesito 3)).
Per avere la parallela all'asse $y$ dovremmo far perdere significato al coefficiente angolare $(2-m)/(2m)$, dovremmo cioè porre $2m=0$ da cui ricavare $m=0$: ma questo non è possibile perchè, per ipotesi, $m!=0$, da cui la risposta al quesito 2) (e anche questo è in accordo col fatto che avevamo detto che una equazione del tipo $y=-(a+a_1m)/(b+b_1m)x-(c+c_1m)/(b+b_1m)$ non rappresenta per alcun valore di $m$ una parallela all'asse delle $y$)
Spero di non avere detto ca***ate e di averti fornito i chirimenti di cui avevi bisogno.
WiZaRd grazie per la tua disponibilità e la tua pazienza.
Ho letto, ho capito bene solo la parte riguardante il mio esercizio.
Devo rileggere con più attenzione la premessa scritta sopra.
A proposito, oggi ha spiegato la parabola, non c'ho capito niente sin dall'inizio.
Ho letto, ho capito bene solo la parte riguardante il mio esercizio.
Devo rileggere con più attenzione la premessa scritta sopra.
A proposito, oggi ha spiegato la parabola, non c'ho capito niente sin dall'inizio.
Della premessa capisco qualcosina a fatica..
Vai con calma...mica la devi imaparare la mia premessa...c'è solo per giustificare quello che si fa nello svolgere l'esercizio...l'argomento lo puoi trovare anche sul tuo libro di testo e lì sarà sicuramente spiegato meglio sicchè ti sarà più agevole capire e scigliere le ultime riserve.
E sul libro di testo guarda gli esercizi già risolti...
"The borg":
E sul libro di testo guarda gli esercizi già risolti...
Illustra i risultati senza accennare al procedimento.
E va beh...quando hai dei dubbi, il forum è formato da persone disponibili e comptetenti che sapranno darti una mano.
P.S.: per curiosità: che libro è? intendo autori e titolo....
P.S.: per curiosità: che libro è? intendo autori e titolo....
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