Problema di trigonometria
Ciao a tutti.
Sono bloccato da un problema piuttosto ostico (almeno per me); mi aiutate a capire come procedere?
Considera la funzione $f(x) = sinx + sqrt(3) cosx + t$. Determina:
a. per quali valori di $t$ non interseca l'asse x in alcun punto;
b. per quale valore di $t$ ha come immagine l'intervallo $[-1,3]$.
Risposte
a. $t<-2 vv t>2$
b. $t =1$
Ho provato a mettere a sistema l'equazione della funzione goniometrica con la funzione data; mi viene una funzione in $cosx$ ma non mi porta a nulla di concreto...
Come devo fare?
Grazie
Raffaele
Sono bloccato da un problema piuttosto ostico (almeno per me); mi aiutate a capire come procedere?
Considera la funzione $f(x) = sinx + sqrt(3) cosx + t$. Determina:
a. per quali valori di $t$ non interseca l'asse x in alcun punto;
b. per quale valore di $t$ ha come immagine l'intervallo $[-1,3]$.
Risposte
a. $t<-2 vv t>2$
b. $t =1$
Ho provato a mettere a sistema l'equazione della funzione goniometrica con la funzione data; mi viene una funzione in $cosx$ ma non mi porta a nulla di concreto...
Come devo fare?
Grazie
Raffaele
Risposte
Ciao Raffaele!!!
Per il primo punto ti consoglio di usare un trucchetto usatissimo con questo genere di equazioni trigonometriche... soprattutto se hai seno e coseno in forma lineare... la "forma parametrica" di seno e coseno!
Se ti ricordi
$sinx = (2k)/(1+k^2)$
$cosx=(1-k^2)/(1+k^2)$
con
$k=tg(x/2)$
(di solito si usa la lettera "t" al posto della "k" ma tu hai già una "t" nel testo dell'esercizio...
)
sostituisci seno e coseno nella tua funzione. Poi ponila uguale a zero, come per cercare eventuali intersezioni con l'asse x (che ha equazione come saprai $y=0$) e vedrai che ottieni una equazione di secondo grado in $k$...
Le soluzioni di tale equazione, al variare di $t$, potrebbero essere due, una o zero... non si sa perchè non si conosce $t$... ma tu esamina il "delta" cioè il discriminante... è pari a $4-t^2$ che dovrai imporre essere NEGATIVO in modo da NON avere intersezioni con asse x
Tutto ciò ti porta alla soluzione da te fornita... ti torna??
Per il primo punto ti consoglio di usare un trucchetto usatissimo con questo genere di equazioni trigonometriche... soprattutto se hai seno e coseno in forma lineare... la "forma parametrica" di seno e coseno!
Se ti ricordi
$sinx = (2k)/(1+k^2)$
$cosx=(1-k^2)/(1+k^2)$
con
$k=tg(x/2)$
(di solito si usa la lettera "t" al posto della "k" ma tu hai già una "t" nel testo dell'esercizio...
)sostituisci seno e coseno nella tua funzione. Poi ponila uguale a zero, come per cercare eventuali intersezioni con l'asse x (che ha equazione come saprai $y=0$) e vedrai che ottieni una equazione di secondo grado in $k$...
Le soluzioni di tale equazione, al variare di $t$, potrebbero essere due, una o zero... non si sa perchè non si conosce $t$... ma tu esamina il "delta" cioè il discriminante... è pari a $4-t^2$ che dovrai imporre essere NEGATIVO in modo da NON avere intersezioni con asse x
Tutto ciò ti porta alla soluzione da te fornita... ti torna??
Sì mi torna.... non ci avevo pensato infatti... Grazieee
C'è un modo alternativo all'utilizzo della formule parametriche?
Raffaele
C'è un modo alternativo all'utilizzo della formule parametriche?
Raffaele
Ho capito! Grazie!
Come devo procedere con il punto b del problema?
Aspetta... provo a postarti anche la risoluzione per il punto 2
un poco "hard" non so se è del tutto rigorosa... mah non sono sicuro ma ci proviamo
Allora io farei così... derivo la funzione di partenza e ottengo
$y'(x)= cosx-sqrt(3) sinx$
la impongo ugiale a zero per trovare massimi e minimi
$cosx=sqrt(3)sinx$ cioè $tgx=sqrt(3)/3$ che fornisce il risultato
$x=pi/6 + k pi$
la tua funzione quindi avrà massimi e minimi per quei valori di x
Ma se la sua immagine deve essere compresa tra -1 e +3 significa che la $y$ deve essere compresa tra quei valori, cioè che la tua funzione deve essere LIMITATA tra quei due valori
Ma allora le ordinate dei massimi e minimi andranno a coincidere con quei valori trattandosi di somma lineare di seno e coseno...
Proviamo i primi due
$y(pi/6)=t+2=3$ massimo
$y((7pi)/6)=t-2=-1$ minimo
ottieni t=1...
un poco "hard" non so se è del tutto rigorosa... mah non sono sicuro ma ci proviamo
Allora io farei così... derivo la funzione di partenza e ottengo
$y'(x)= cosx-sqrt(3) sinx$
la impongo ugiale a zero per trovare massimi e minimi
$cosx=sqrt(3)sinx$ cioè $tgx=sqrt(3)/3$ che fornisce il risultato
$x=pi/6 + k pi$
la tua funzione quindi avrà massimi e minimi per quei valori di x
Ma se la sua immagine deve essere compresa tra -1 e +3 significa che la $y$ deve essere compresa tra quei valori, cioè che la tua funzione deve essere LIMITATA tra quei due valori
Ma allora le ordinate dei massimi e minimi andranno a coincidere con quei valori trattandosi di somma lineare di seno e coseno...
Proviamo i primi due
$y(pi/6)=t+2=3$ massimo
$y((7pi)/6)=t-2=-1$ minimo
ottieni t=1...
Mi sembra che fili....
Non ho ben capito però l'ultimo passaggio...
Quando sostituisco $pi/6$ nella mia funzione di partenza mi torna $t=1/2$.... Dove sbaglio?
Raffaele
Non ho ben capito però l'ultimo passaggio...
Quando sostituisco $pi/6$ nella mia funzione di partenza mi torna $t=1/2$.... Dove sbaglio?
Raffaele
la funzione è
$y(x)=sinx+sqrt(3)cosx+t$
quindi
$y(pi/6)=1/2+3/2+t$
cioè
$y(pi/6)=2+t$
a questo punto dici
$y(pi/6)=3$ perchè è un massimo
e ottieni
$t+2=3$
cioè
$t=1$
fila tutto ma.. forse qualcun altro del forum avrà una soluzione più rigorosa della mia o perlomeno differente
ciao!!
$y(x)=sinx+sqrt(3)cosx+t$
quindi
$y(pi/6)=1/2+3/2+t$
cioè
$y(pi/6)=2+t$
a questo punto dici
$y(pi/6)=3$ perchè è un massimo
e ottieni
$t+2=3$
cioè
$t=1$
fila tutto ma.. forse qualcun altro del forum avrà una soluzione più rigorosa della mia o perlomeno differente
ciao!!
Capito tutto..... Grazie.
Sei stato molto prezioso...
Raffaele
Sei stato molto prezioso...
Raffaele
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