Problema di minini e massimi
salve a tutti. ho difficoltà con questi esercizi:
1) per quale dei seguenti punti vi è un flesso per $y=log(x^3-1)$?
x=0
x=2
x=$-root3 2 $
non ci sono flessi.
per prima cosa ho calcolato la derivata prima:
$(3x^2)/(x^3-1)$, poi la derivata seconda= $(15x^4-6x)/(x^3-1)^2$
allora ho uguagliato la derivata seconda a 0. mi trovo x=0 e x=$root3(2/5)$. allora qual è il risultato? il campo di esistenza della funzione è x>1
2) di tutti i triangoli avente costante la somma di due lati x,y e l'angolo compreso a, qual è quello di area massima?
per prima cosa ho trovato l'area:
$1/2 xysena$. poi avevo pensato di calcolare la derivata,ma mi viene con 3 incognite. come vado avanti?
3) per quale valore di a la funzione $y=ax^3 + 2x^2-3ax$ presenta solamente un minimo e nessun massimo?
ho calcolato la derivata prima:
$3ax^2+4x-3a$ poi la eguaglio a 0 e mi trovo che x=$(-2+-sqrt(4+9a^2))/(3a)$. il libro dice che il risultato è a=0.
come si fa?
grazie in anticipo
1) per quale dei seguenti punti vi è un flesso per $y=log(x^3-1)$?
x=0
x=2
x=$-root3 2 $
non ci sono flessi.
per prima cosa ho calcolato la derivata prima:
$(3x^2)/(x^3-1)$, poi la derivata seconda= $(15x^4-6x)/(x^3-1)^2$
allora ho uguagliato la derivata seconda a 0. mi trovo x=0 e x=$root3(2/5)$. allora qual è il risultato? il campo di esistenza della funzione è x>1
2) di tutti i triangoli avente costante la somma di due lati x,y e l'angolo compreso a, qual è quello di area massima?
per prima cosa ho trovato l'area:
$1/2 xysena$. poi avevo pensato di calcolare la derivata,ma mi viene con 3 incognite. come vado avanti?
3) per quale valore di a la funzione $y=ax^3 + 2x^2-3ax$ presenta solamente un minimo e nessun massimo?
ho calcolato la derivata prima:
$3ax^2+4x-3a$ poi la eguaglio a 0 e mi trovo che x=$(-2+-sqrt(4+9a^2))/(3a)$. il libro dice che il risultato è a=0.
come si fa?
grazie in anticipo
Risposte
non mi metto a rifare i conti, anche perché mi sembra che ci si possa fidare dei tuoi. per quanto riguarda il quesito 1), ti sei risposto da te, in quanto l'unico valore possibile non è accettabile. per il 2), tieni presente che la somma è costante, per cui puoi esprimere y in fuzione di x, e mi pare che anche l'angolo va considerato noto! la variabile in tal caso è solo una: f(x)= 1/2*x*(k-x)*sen(a)
Per il 3) ho provato a usare le derivate successive. Ponendo la seconda nei punti da te trovati uguale a 0. Però non arrivo al risultato del libro, anche se si intuisce dal momento che con a=0 rimane una parabola con un minimo :S
sono curioso di sapere...
sono curioso di sapere...
scusa, dimenticavo il quesito 3). insieme con le radici dell'equazione, va studiato il segno della disequazione, perché il segno della derivata prima ci dice se la funzione è crescente o decrescente. perché ci sia un minimo, il segno deve essere negativo nell'intorno sinistro e positivo nell'intorno destro. dall'espressione della derivata prima che hai trovato, il discriminante è positivo, per cui se fosse a diverso da zero la derivata sarebbe + - + oppure - + - a seconda del segno di a, ma comunque la funzione avrebbe sia un massimo che un minimo. spero di essere stata chiara. buon lavoro!
è vero... 
grazie
grazie
Per l'1 hai sbagliato la derivata seconda. Essa è $((6x)*(x^3-1)-(3x^2)*(3x^2))/((x^3-1)^2)=(-3x^4-6x)/((x^3-1)^2)$ che si annulla per $x=0$ e per $-3x^3=6 => x^3=-2 => x=-root3(2)$
per quale valore di a la funzione $y=ax^3 + 2x^2-3ax$ presenta solamente un minimo e nessun massimo?
Se $a=0$ la funzione non è una cubica, ma una parabola rivolta verso l'alto, quindi con solo il minimo.
Per $a!=0$ invece è una cubica, che ha quindi o sia massimo che minimo o nessuno dei due, si deve guardare la derivata prima e poiché questa ammette sempre due zeri se ne deduce che la funzione ha sia massimo che minimo
Se $a=0$ la funzione non è una cubica, ma una parabola rivolta verso l'alto, quindi con solo il minimo.
Per $a!=0$ invece è una cubica, che ha quindi o sia massimo che minimo o nessuno dei due, si deve guardare la derivata prima e poiché questa ammette sempre due zeri se ne deduce che la funzione ha sia massimo che minimo
grazie a tutti
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