Problema di matematica sessione suppletiva 1998

[Shalan]

allora ciao a tutti..
mi sto esercitando come sempre nei problemi di matematica per affrontare l'esame di maturità..
ieri mi son imbattuto in questo problema:


In una circonferenza di diametro AB=2r è inscritto un triangolo rettangolo ABC retto in C ed avente il cateto CB uguale al doppio del cateto AC.
Sia P un punto dell'arco di estremi A e B, che non contiene C.
Il candidato:
a) determini i cateti del triangolo ABC ed i valori di sin ά e cos ά, essendo ά=CÂB;
b) Indicato con γ l'angolo CÂP, esprimere in funzione di x= cotan γ il rapporto:
R(x)= (4AB^2 - 4CP^2) / (5PB^2 + 3CP^2);
c) tracci,in un paino riferito ad un sistema di assi ortogonali Oxy, la curva di equazione y= R(x) e descriva l'andamento di R(x)
d) trovi i valori di x quando y assume valore 1/3.

io ho fatto così

[issima90]

ha seguito l'uguaglianza che ti dà nel punto B?

[Shalan]

issima90:
ha seguito l'uguaglianza che ti dà nel punto B?

non ho capito cosa vuoi sapere.
cmq dovrei cercare i lati CP e PB dato che AB ce l'ho gia... giusto?

ed è quelloc he stoc ercando di fare però trasformando seno e coseno in cotangente giusto?

[ciampax]

Che

[math]PB[/math]

sia quello che tu hai scritto è corretto. Ma come hai fatto a trovare

[math]CP[/math]

? Da quello che scrivi sembra che tu sia certo del fatto che

[math]ACP[/math]

sia un triangolo rettangolo.... e questo vorrebbe dire che

1) CP è l'ipotenusa e quindi coincide con il diametro della circonferenza;
2) l'angolo

[math]\gamma[/math]

è retto!

E mi pare che ci sia qualcosa che non va. Ti consiglio di usare, invece delle relazioni che hai scritto, il teorema di Carnot per determinare CP:

[math]CP^2=AC^2+PA^2-2\cdot AC\cdot PA\cos\gamma[/math]

e trovare il valore di

[math]PA[/math]

come hai fatto con

[math]PB[/math]

.

[Shalan]

ho fatto un rettangolo perchè mi sembra la cosa più sensata no? piu facile..

perchè non da indicazioni precise il punto b.
cmq giusto non avevo pensato che CP fosse uguale ad AB...
quindi ora provo a fare Carnot giustamente..
ma va bene poi il procedimento per trovare la cotangente?

[ciampax]

Shalan:
ho fatto un rettangolo perchè mi sembra la cosa più sensata no? piu facile..

perchè non da indicazioni precise il punto b.
cmq giusto non avevo pensato che CP fosse uguale ad AB...
quindi ora provo a fare Carnot giustamente..
ma va bene poi il procedimento per trovare la cotangente?

Quello che dici, dell'aver fatto il rettangolo perché è più semplice, vuol dire che allora l'unica soluzione possibile è quella che hai dato tu! Ti sembra ammissibile? Devi trovare una soluzione e supponi che sia quella? :) In matematica le cose si fanno in maniera generale, non usando la via che sembra più semplice perché mi fa fare meno conti!

Se usi il metodo che ti ho detto io, vedrai che non hai bisogno di passare a cotangenti varie: basterà risolvere una qualche equazioni trigonometrica e il gioco è fatto.