Problema di matematica preso dalle olimpiadi
Salve, ho trovato questo problema che non riesco a risolvere, eccolo:
Trovare tutti gli interi positivi la cui prima cifra è 6 tali che il valore del numero ottenuto togliendo questa prima cifra è 1/25 del valore iniziale.
Inoltre dimostrare che non esistono interi tali che l'eliminazione della prima cifra porta ad un numero il cui valore è 1/35 del valore iniziale.
Potete farmi vedere come si risolve?
PS: vorrei sapere anche quali argomenti occorre conoscere per risolvere questi tipi di esercizi e se all'università (nei corsi di laurea come matematica, fisica, ecc...), gli esercizi sono molto più complessi di questo.
Grazie in anticipo!
Trovare tutti gli interi positivi la cui prima cifra è 6 tali che il valore del numero ottenuto togliendo questa prima cifra è 1/25 del valore iniziale.
Inoltre dimostrare che non esistono interi tali che l'eliminazione della prima cifra porta ad un numero il cui valore è 1/35 del valore iniziale.
Potete farmi vedere come si risolve?
PS: vorrei sapere anche quali argomenti occorre conoscere per risolvere questi tipi di esercizi e se all'università (nei corsi di laurea come matematica, fisica, ecc...), gli esercizi sono molto più complessi di questo.
Grazie in anticipo!
Risposte
Un metodo piuttosto semplice è questo:
chiamo $n+1$ il numero di cifre del generico intero da trovare e $p$ il numero privato del $6$ iniziale.
Posso scrivere quindi l'equazione:
$6*10^n+p=25p$
da cui ricavo:
$p = (10^n)/4$
Affinché $p$ sia intero, $10^n$ dev'essere divisibile per $4$, perciò $n>=2$.
A seconda di $n$, gli interi cercati sono tutti quelli composti dalle cifre $625$ seguite da $n-2$ zeri.
Detto questo, dovresti essere in grado di risolvere da solo la seconda parte del problema.
Se non è chiaro chiedi pure.
chiamo $n+1$ il numero di cifre del generico intero da trovare e $p$ il numero privato del $6$ iniziale.
Posso scrivere quindi l'equazione:
$6*10^n+p=25p$
da cui ricavo:
$p = (10^n)/4$
Affinché $p$ sia intero, $10^n$ dev'essere divisibile per $4$, perciò $n>=2$.
A seconda di $n$, gli interi cercati sono tutti quelli composti dalle cifre $625$ seguite da $n-2$ zeri.
Detto questo, dovresti essere in grado di risolvere da solo la seconda parte del problema.
Se non è chiaro chiedi pure.
meursault, ho capito il tuo metodo: imposto $6*10^n+p=35p$ , che alla fine viene $p=30^n/17$ e per qualsiasi valore di $n$, non verrà mai un numero intero.
Grazie mille!
Comunque vorrei sapere: io che vado al 5° liceo scientifico, avrei dovuto essere in grado di impostare da solo questo problema?
Grazie mille!
Comunque vorrei sapere: io che vado al 5° liceo scientifico, avrei dovuto essere in grado di impostare da solo questo problema?
"Francesco.91":
meursault, ho capito il tuo metodo: imposto $6*10^n+p=35p$ , che alla fine viene $p=30^n/17$ e per qualsiasi valore di $n$, non verrà mai un numero intero.
Grazie mille!
Comunque vorrei sapere: io che vado al 5° liceo scientifico, avrei dovuto essere in grado di impostare da solo questo problema?
Prego.
(suppongo che $30^n$ invece di $3*10^n$ sia pura distrazione)Non saprei rispondere bene alla tua domanda.
Da un lato, problemi di questo tipo non dovrebbero essere difficili per uno studente del 5° anno,
ma richiedono un certo "intuito" nell'impostazione che – secondo me – non viene esercitato molto spesso a scuola;
almeno, io ho fatto l'Esame di Stato quest'anno, e in cinque anni non ho mai visto cose così,
se non appunto alle Olimpiadi di Matematica (per le quali a volte nelle scuole si organizzano dei corsi).
Comunque se uno ama la materia (come nel mio caso), in Internet si trova parecchio materiale per approfondire.
Ciao.
Sono diversi: questo è un esercizietto che se lo dai a chi ha un po' di dimestichezza in ambito di olimpiadi, te lo risolve senza problemi.
All'università puoi incontrare problemi su cui devi impiegare molte conoscenze, e l'intuito da solo non basta.
Ad ogni modo, essere svelti con questi problemini è un'ottima palestra.
Serve solo pratica.
Quindi non è questione di 5° liceo scientifico: sono abbastanza convinto che se davo quest'esercizio ad alcuni miei colleghi in dipartimento (Matematica), ancora ci stavano a pensare...
"Francesco.91":
PS: vorrei sapere anche quali argomenti occorre conoscere per risolvere questi tipi di esercizi e se all'università (nei corsi di laurea come matematica, fisica, ecc...), gli esercizi sono molto più complessi di questo.
Sono diversi: questo è un esercizietto che se lo dai a chi ha un po' di dimestichezza in ambito di olimpiadi, te lo risolve senza problemi.
All'università puoi incontrare problemi su cui devi impiegare molte conoscenze, e l'intuito da solo non basta.
Ad ogni modo, essere svelti con questi problemini è un'ottima palestra.
Serve solo pratica.
Quindi non è questione di 5° liceo scientifico: sono abbastanza convinto che se davo quest'esercizio ad alcuni miei colleghi in dipartimento (Matematica), ancora ci stavano a pensare...
capito, grazie meursault e steven ^^
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