Problema di massimo sul triangolo rettangolo

[gloria991]

Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio.

Considera un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa $AB$ $=$ $a$. Determina la misura $x$ del cateto $AC$ in modo che tracciata la circonferenza avente centro in $A$ e passante per $C$ e indicato con $D$ il suo punto di intersezione con $AB$, la misura del segmento $CD$ sia massima.

Allora ho fatto il disegno e mi sembra tutto chiaro.

$AC$ e $AD$ sono i due raggi della circonferenza, visto che la circonferenza passa per $C$ e interseca $AB$ nel punto $D$.

Non so andare avanti
grazie

[igiul1]

Io proverei a risolverlo con la trigonometria, indicando con $x$ o $2x$ , a te la scelta, l'angolo $hat (ABC)$.

Ciò fatto calcoli, teorema sui triangoli rettangoli, $AC$ e dopo dal triangolo isoscele $ACD$ o, se preferisci, con il teorema della corda $CD$.

[mgrau]

Oppure così:





$AC = AB sin (90 - 2alpha) = AB cos (2alpha)$
$CD = 2 AC sin alpha = 2AB cos(2alpha)sin(alpha)$

[gloria991]

Ciao, eccomi nuovamente...ho seguito le vostre indicazioni ma ho una vaga idea di continuare a sbagliare qualcosa perchè non arrivo al risultato del libro.

Ho chiamato con $x$ l'angolo $A$.
Quindi, per il teorema dei triangoli rettangoli, $AC$ $=$ $a$ $*$ $cosx$;

Mentre, $CD$, per il teorema della corda mi risulta questo:
$CD$ $=$ $a$ $*$ $cosx$ $*$ $sen(x/2)$;

Poi sapendo che il $sen(x/2)$ $=$ $sqrt((1-cosx)/2)$, il segmento $CD$ risulta:

$CD$ $=$ $a$ $*$ $cosx$ $*$ $sqrt((1-cosx)/2)$

Se questo è giusto allora ho dei seri problemi con la derivata perchè non arrivo a trovare $x$ $=$ $2/3$$a$ che è il risultato.

[@melia]

Non puoi ottenere $x=2/3a$, questa è la soluzione con l'uso dell'incognita su di un segmento, tu l'hai messo in un angolo, la soluzione deve per forza essere diversa. Devi controllare se si equivalgono.

[mgrau]

Se parti dalla relazione
$CD = 2 AC sin alpha = 2AB cos(2alpha)sin(alpha)$
si tratta di trovare il massimo di $cos(2alpha)sin(alpha)$
La sua derivata è $cos(alpha)(3cos(2alpha)-2)$ che si azzera per $cos(2alpha) = 2/3$
Dato che $AC = acos(2alpha)$, abbiamo $AC = 2/3a$