Problema di massimi e minimi

[Nidhogg]

In una sfera di raggio r inscrivere il cilindro di volume massimo
Indicare con x la misura del raggio del cilindro.

[MaMo2]

L'altezza del cilindro si trova applicando il teorema di Pitagora:
h = 2(r^2 - x^2)
Il volume del cilindro diventa:
V = *x^2*h = 2*x^2*(r^2 - x^2)
Derivando questa funzione rispetto ad x si ottiene:
V' = 2x(2r^2 - 3x^2)/(r^2 - x^2)
Essa si annulla per x = 0 e per x = (6/3)r.
Ai due valori corrispondono rispettivamente un minimo ed un massimo.
Il volume massimo del cilindro diventa:
Vmax = (43/9)**r^3.

opsss... avevo dimenticato di scrivere un pezzo di derivata.

Modificato da - MaMo il 01/04/2004 17:21:07

Modificato da - MaMo il 02/04/2004 23:16:40

[Nidhogg]

puoi scrivermi i passaggi per il calcolo dei punti in cui si annulla la derivata prima grazie

[Sk_Anonymous]

Volendo si puo' evitare di derivare
operando in questo modo:
Facendo a meno della costante (moltiplicativa e
positiva) 2*pi,il volume puo' scriversi,
come prodotto di potenze positive ,cosi':
V=(x^2)^1*(r^2-x^2)^(1/2)
Ora x^2+(r^2-x^2)=r^2=costante, ed e' noto
che in questo caso il massimo si ottiene
quando le basi sono proporzionali ai rispettivi
esponenti:
(x^2):1=(r^2-x^2):(1/2) da cui
x^2=2r^2-2x^2
3x^2=2r^2
x=r*sqrt(2/3)= r*sqrt(6)/3.
karl.