Problema di insiemistica, riuscite ad aiutami? :)

[audrey36]

Ciao, potreste aiutarmi con questo problema di insiemistica per favore? Io ci sto ragionando da un po', ma non riesco proprio ad iniziare :cry :cry
Devono essere istituiti i corsi di recupero per i 146 alunni delle classi prime, e le materie coinvolte sono inglese, matematica e latino. Risulta che: 94 devono partecipare a quello di matematica, 88 a quello di inglese, 73 a quello di latino. 62 a quelli di matematica e inglese, 45 a quelli di matematica e latino, 28 a quelli di latino e inglese, 24 a tutti e tre i corsi. Quanti alunni dovranno seguire un solo corso? Quanti solo matematica? Quanti solo inglese? Quanti alunni non dovranno seguire il corso di latino? quanti né il corso di matematica né quello di inglese? :scratch

[ciampax]

Indichiamo con

[math]I,\ M,\ L[/math]

gli insiemi per inglese, matematica e latino. Abbiamo che

[math]|M|=94,\quad |I|=88,\quad |L|=73\\ |M\cap I|=62,\quad |M\cap L|=45,\quad |L\cap I|=28\\ t=|M\cap I\cap L|=24[/math]

Calcoliamo alcuni altri insiemi:

[math]x=|(M\cap I)\setminus L|=|M\cap I|-|M\cap I\cap L|=62-24=38\\ y=|(M\cap L)\setminus I|=|M\cap L|-|M\cap I\cap L|=45-24=21\\ z=|(L\cap I)\setminus M|=|L\cap I|-|M\cap I\cap L|=28-24=4[/math]

Possiamo osservare a questo punto che

[math]|M|=|M\setminus(I\cup L)|+x+y+t\\ |I|=|I\setminus(M\cup L)|+x+z+t\\ |L|=|L\setminus(I\cup M)|+y+z+t[/math]

da cui

[math]a=|M\setminus(I\cup L)|=|M|-x-y-t=94-38-21-24=11\\ b=|I\setminus(M\cup L)|=|I|-x-z-t=88-38-4-24=22\\ c=|L\setminus(M\cup I)|=|L|-y-z-t=73-21-4-24=24[/math]

Gli ultimi valori calcolati sono quelli relativi agli studenti che devono seguire un solo corso: per cui ci sono 11+22+24=57 alunni che seguono un solo corso, 11 che seguono solo matematica, 22 solo inglese.

Osserva inoltre che

[math]a+b+c+x+y+z+t=11+22+24+38+21+4+24=144[/math]

per cui

[math]n=2[/math]

studenti non devono seguire alcun corso.


Per determinare quanti alunni non seguono il corso di latino, dobbiamo sommare i valori di tutti i sottoinsiemi che sono disgiunti da L: pertanto si ha (vanno inclusi anche quelli che non seguono corsi)

[math]a+b+x+n=11+22+38+2=73[/math]

Quelli che invece non devono seguire né matematica né inglese coincidono con quelli che devono seguire solo latino o che non seguono corsi, per cui abbiamo

[math]c+n=24+2=26[/math]