Problema di II grado in due incognite.

[Coppus]

Data una semicirconferenza di diametro AB=2r determinare il rettangolo inscritto avente il perimetro uguale a quello del quadrato costruito sul raggio. Risultato [6/5 r; 4/5 r]

Grazie!

-Coppus-

"...a chi decide di ammazzare il tempo...e il tempo invece servirebbe vivo...!" -Ligabue(Chissà se in cielo passano gli Who)

[MaMo2]

Indichiamo con x l'altezza del rettangolo inscritto nel semicerchio.
Tracciando il raggio che unisce il centro del semicerchio con un vertice del rettangolo si ottiene un triangolo rettangolo. Applicando il teorema di Pitagora a questo triangolo si trova la base del rettangolo: b = 2(r² - x²)
Il perimetro deve essere uguale a 4r perciò possiamo scrivete l'uguaglianza:
2x + 2(r² - x²) = 4r
Dividendo per 2 e separando il radicale si ha:
(r² - x²) = 2r - x
Elevando al quadrato entrambi i membri si ottengono i valori x = 0 (non accettabile) e x = (4/5)r. La base diventa perciò (6/5)r.

[fireball1]

Se capisco bene il problema, il quadrato costruito sul raggio ha lato pari ad r.
Il perimetro del rettangolo sarà allora: 4r, di conseguenza il semiperimetro è 2r.

Chiamando x la base del rettangolo e y l'altezza (è chiaro che sia la base che l'altezza
devono 'contenersi' tra i valori, minimo e massimo, 0 e 2r):

x + y = 2r

Inoltre, per il teorema di Pitagora (se la base del rettangolo giace
sul diametro AB = 2r), aiutandoti con un disegno, vedi che il raggio al quadrato
è uguale alla somma del quadrato di metà base del rettangolo e del quadrato dell'altezza.
Quindi:

x²/4 + y² = r² ==> x² + 4y² = 4r²

Il problema si risolve con il sistema misto:

{x + y = 2r
{x² + 4y² = 4r²
{0 < x < 2r
{0 < y < 2r

Per risolvere un sistema misto, devi semplicemente risolvere il sistema
formato dalle prime due equazioni, e poi vedere se le soluzioni che hai trovato
sono comprese tra 0 e 2r. Tale sistema ha due soluzioni: una (x = 2r e y = 0) è una soluzione limite non accettabile, in quanto gli estremi delle limitazioni non sono inclusi; l'altra soluzione, quella accettabile, è invece x = 6/5 r e y = 4/5 r

Modificato da - fireball il 12/04/2004 19:21:30

[fireball1]

Sapevo che nel frattempo qualcuno avrebbe risposto al posto mio...
Certo che la voglia di rispondere è proprio tanta, e questa è una cosa bellissima...
Siamo unici! Su Internet non credo proprio che esista un forum di Matematica come questo

Modificato da - fireball il 12/04/2004 19:03:43

[Coppus]

E' vero, siete i migliori!!

E' per questo che credo approfitterò molto della vostra disponibilità e bravura!

Grazie!

-Coppus-


"...a chi decide di ammazzare il tempo...e il tempo invece servirebbe vivo...!" -Ligabue(Chissà se in cielo passano gli Who)