Problema di geometria risolvibile con un sistema
Trova la misura del lato maggiore del rettangolo diesegnato in figura(il lato minore misura 1) sapendo che le figure tonde sono tutti cerchi tra loro tangenti. Ho pochi dati, come faccio a risolverlo? aiutatemi per favore, grazie.
Risposte
Sapendo il lato minore, sai inevitabilmente il raggio dei cerchi grandi. Sai inoltre che la somma del diametro dei cerchi medi con il raggio di quello piccolo è uguale al raggio di quello grande. Lascio a te trovare l'ultima condizione.
"Casio98":
Sapendo il lato minore, sai inevitabilmente il raggio dei cerchi grandi. Sai inoltre che la somma del diametro dei cerchi medi con il raggio di quello piccolo è uguale al raggio di quello grande. Lascio a te trovare l'ultima condizione.
sò che la somma dei diametri dei cerchi grandi è x perchè ogni raggio è metà di x quindi metà di x e metà di x fà x. non capisco cosa tu voglia dire con:"Sai inoltre che la somma del diametro dei cerchi medi con il raggio di quello piccolo è uguale al raggio di quello grande " il diametro totale dei cerchi in mezzo è 1 cioè il lato minore, il raggio del cerchio piccolo non lo conosco,poi non capisco come il raggio di un cerchio piccolo possa essere uguale al raggio di un cerchio più grande. poi non capisco se và sfruttato il fatto che tutti i cerchi sono tangenti fra loro.
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
"mgrau":Click sull'immagine per visualizzare l'originale
non ho capito perchè $(x+y)^2+(x+1)^2=(y+1)^2$
e poi svolgendo i calcoli ottengo $2x=0$ è possibile risolvere il problema "senza smontare" la fgigura iniziale perchè così è poco intuitivo
Il procedimento di mgrau è corretto, ma, data la figura, le equazioni da mettere a sistema sono:
$(x/2 +y/2)^2 + (x/2 + 1/2)^2 = (y/2 + 1/2)^2$
e
$y+x/2=1/2$
da cui, con facili calcoli, ottieni
$x_1=2-√3 < 1 $ accettabile
e
$x_2=2+√3>1$ non accettabile.
Sostituendo la radice accettabile nella seconda equazione troverai poi
$y=√3 - 1$
Nota che, sommando
$x+2y=1$
verifichi la correttezza del procedimento.
La base maggiore del rettangolo è lunga $4-√3$
$(x/2 +y/2)^2 + (x/2 + 1/2)^2 = (y/2 + 1/2)^2$
e
$y+x/2=1/2$
da cui, con facili calcoli, ottieni
$x_1=2-√3 < 1 $ accettabile
e
$x_2=2+√3>1$ non accettabile.
Sostituendo la radice accettabile nella seconda equazione troverai poi
$y=√3 - 1$
Nota che, sommando
$x+2y=1$
verifichi la correttezza del procedimento.
La base maggiore del rettangolo è lunga $4-√3$
"teorema55":
Il procedimento di mgrau è corretto, ma, data la figura, le equazioni da mettere a sistema sono:
$(x/2 +y/2)^2 + (x/2 + 1/2)^2 = (y/2 + 1/2)^2$
e
$y+x/2=1/2$
ok i conti danno ma vorei capire il perchè di quell'impostazione del sistema, perchè scritto così
È il teorema di Pitagora: la somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell'ipotenusa.
"@melia":
È il teorema di Pitagora: la somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell'ipotenusa.
ok fin lì ci sono...ma non avendo avuto la fantasia di mgrau di togliere i cerchi dal rettangolo e metterli in modo da formare un triangolo rettangolo unendo i centri dei cerchi sarei riuscito comunque a impostare il sistema o questo era l'unico modo per risolvere il problema?
E' il più semplice, ma ce ne sono altri, basati, per esempio, sulla similitudine di una serie di triangoli rettangoli che potresti ricavare dalla figura............e poi nessuno ha estrapolato i "cerchi" e li ha messi in fila, o in colonna, o a zig zag: è la reale situazione geometrica del problema!
"teorema55":
E' il più semplice, ma ce ne sono altri, basati, per esempio, sulla similitudine di una serie di triangoli rettangoli che potresti ricavare dalla figura............e poi nessuno ha estrapolato i "cerchi" e li ha messi in fila, o in colonna, o a zig zag: è la reale situazione geometrica del problema!
capisco...
"teorema55":
Il procedimento di mgrau è corretto, ma, data la figura, le equazioni da mettere a sistema sono:
$(x/2 +y/2)^2 + (x/2 + 1/2)^2 = (y/2 + 1/2)^2$
e
$y+x/2=1/2$
da cui, con facili calcoli, ottieni
$x_1=2-√3 < 1 $ accettabile
e
$x_2=2+√3>1$ non accettabile.
Sostituendo la radice accettabile nella seconda equazione troverai poi
$y=√3 - 1$
Nota che, sommando
$x+2y=1$
verifichi la correttezza del procedimento.
La base maggiore del rettangolo è lunga $4-√3$
il risultato dovrebbe essere radice di 5
Teorema55 avrà fatto un errore di calcolo, ma il procedimento che ha indicato è assolutamente corretto e tu puoi farti i conti da solo, viene $x=sqrt5-2$ e, quindi, il lato lungo, che misura $2+x$, viene esattamente $sqrt5$
"@melia":
Teorema55 avrà fatto un errore di calcolo, ma il procedimento che ha indicato è assolutamente corretto e tu puoi farti i conti da solo, viene $x=sqrt5-2$ e, quindi, il lato lungo, che misura $2+x$, viene esattamente $sqrt5$
si dà proprio così, grazie per l'aiuto
La differenza, cara @melia, dipende dal MODO di calcolare: infatti
$√5 = 4-√3$
con una differenza di $0,03$, cioè il $3%$
$√5 = 4-√3$
con una differenza di $0,03$, cioè il $3%$
"teorema55":
La differenza, cara @melia, dipende dal MODO di calcolare: infatti
$ √5=4−√3 $
con una differenza di $ 0,03 $, cioè il $ 3% $
Stai scherzando, vero?
Tanto per cominciare, l'errore non è del $ 3% $, ma meno della metà di quanto scrivi.
Però, per quanto piccolo sia, uno è il risultato corretto e l'altro no. E volendo fornire una soluzione approssimata, forse sarebbe il caso di indicarlo esplicitamente, evitando, con cura, di utilizzare numeri irrazionali inventati.
Ciao
Stai scherzando, vero?
Non scherzo mai con la matematica, né tanto meno "invento". Il tuo post mi sorprende.
Nella fretta di rispondere per dare una mano al nostro oleg ho usato la calcolatrice, ma risolvendo il sistema che avevo impostato, anche a me risulta
Lato maggiore $ = √5$
Hai ragione invece quando affermi che
l'errore non è del 3%, ma meno della metà
Infatti
$√5=2,236$
e
$4-√3 = 2,267$
La differenza
$2,267-2,236=0,031$
equivale all'
$1,3%$ circa
della $√5$
"teorema55":
Non scherzo mai con la matematica, né tanto meno "invento". Il tuo post mi sorprende.
Se ti ho sorpreso, mi scuso: avevo pensato che il tuo fosse davvero un modo scherzoso per ammettere la distrazione. Mancava solo la faccina contrita
Avessi pensato che scrivevi seriamente sarei stato mooolto più cattivo: di cose matematicamente 'diverse' ce ne sono ancora.
Non riesco a pensare cosa avrei potuto scrivere al posto di 'numeri inventati'. Non credo proprio che tu abbia una calcolatrice che, ad un input corretto, abbia risposto con qualche $ sqrt 3 $. Nel caso mi sbagliassi forse sarebbe il caso di cambiarla.
Ciao
Sono stato io a leggere la calcolatrice grafica in modo frettoloso.
Scusate, se per ipotesi il problema avesse fornito come dato il lato minore del rettangolo uguale a $2$, allora se non sbaglio i calcoli, viene $x=0$, di conseguenza il lato maggiore vale $4$,
e la figura diventa un rettangolo contenente due cerchi grandi ai lati, con due cerchi medi al centro , questi ultimi tangenti anche tra di loro.
Mi sbaglio?
e la figura diventa un rettangolo contenente due cerchi grandi ai lati, con due cerchi medi al centro , questi ultimi tangenti anche tra di loro.
Mi sbaglio?
Non è così. Se il lato minore del rettangolo è uguale a 2, allora i due raggi sono
$r=√5 - 2$
e
$R=(3-√5)/2$
utilizzando lo stesso procedimento di prima. Si verifica che
$4R + 2r = 2$
Il lato maggiore del rettangolo risulta
$2√5$
$r=√5 - 2$
e
$R=(3-√5)/2$
utilizzando lo stesso procedimento di prima. Si verifica che
$4R + 2r = 2$
Il lato maggiore del rettangolo risulta
$2√5$
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